Banyak yang mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu.
Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2. Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus. Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).
Teorema Terakhir Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat di abad ke-17. Teorema ini mengatakan:
untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat bukan nol x, y, dan z yang memenuhi persamaan xn + yn = zn
Fermat mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi, terdengar konyol memang. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar di dunia matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris-Amerika Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teori ini.
Pierre di Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus.
Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n.
Sophie Germain membuktikan kasus pertama dari Teorema Fermat untuk semua n kurang dari 100 dan Legendre memperluas metode yang dikembangkan Germain meliputi semua bilangan kurang dari 197. Dalam tahap ini kasus 2 belum pernah dibuktikan bahkan untuk kasus n = 5, sehingga menjadi jelas bahwa kasus 2 harus diperhatikan lebih serius. Sekarang kasus 2 untuk n = 5 juga terpecah kedalam dua kasus lain.Kasus 2(i) jika bilangan yang habis dibagi 5 tersebut genap dan kasus 2(ii) jika bilangan genap dan bilangan satunya yang habis dibagi 5 berbeda.
Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).]
Pada tanggal 24 Mei Liouville membaca suarat yang ditujukan pada Acad- emy yang memberikan kepastian. Surat tersebut berasal dari Kummer, menyertakan paper bertahun 1844 yang membuktikan bahwa ketunggalan faktorisasi tidak dipenuhi tapi dapat diperbaiki dengan memperkenalkan konsep bilangan ideal kompleks yang telah ia kerjakan pada tahun 1846. Kummer telah menggunakan teori barunya untuk mencari kondisi kapan suatu bilangan prima regulear dan telah membuktikan FLT untuk semua bilangan prima regular. Kummer juga menyertakan dalam suratnya ini bahwa 37 akan gagal terhadap kondisi yang ia berikan. Pada bulan Sepetmber 1847 Kummer mengirimi Dirichlet dan Berlin Academy suatu papaer yang membuktikan bahwa suatu prima p regular (dan dengan demikian FLT benar untuk bilangan tersebut) jika p tidak membagi pembilang dari semua bilangan Bernoulli B2,B4, ...,Bp−3. Bilangan Bernoulli Bn didefinisikan oleh :
Kummer menunjukkan bahwa semua bilangan prima kurang dari 37 adalah regular, tapi 37 tidak regular karena 37 membagi pembilang dari B32. Bilangan prima kurang dari 100 yang tidak regular hanyalah 37,59, dan 67.Teknik yang lebih cangih digunakan untuk membuktikan FLT untuk bilangan ini. Pekerjaan ini dilakukan dan dilanjutkan oleh Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler,Vandiver dan lainnya. Meskipun diharapkan bahwa bilangan prima regular ini takberhingga banyaknya. Pada tahun 1915 Jensen membuktikan bahwa bilangan prima takregular takberhingga banyaknya. Alih-alih mendapatkan hadiah bagi siapa yang memecahkannya, FLT tetap tak terpecahkan. Ia merupakan teorema dengan banyak bukti yang salah. Sebagai contoh 1000 bukti yang salah telah diterbitkan antara tahun 1908 dan 1912. Satu-satunya kemajuan positif adalah hasil komputasi yang menunjukkan bahwa bukti penyangkal hanya bisa didapatkan untuk bilangan yang sangat besar. Dengan menggunakan teknik yang digunakan Kummer, FLT terbukti benar, dengan bantuan komputer untuk n sampai dengan 4 000 000 pada tahun 1993. Pada tahun 1983 kontribusi besar dibuat oleh Gerd Falting yang membuktikan bahwa untuk n > 2 hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan relative prima x, y, z dengan x^n + y^n = z^n . Ini merupakan langkah besar tapi bukti bahwa berhingga bilangan adalah 0 tampaknya tidak bisa didapatkan dengan memperluas argumen Falting. Bab terakhir dari cerita ini dimulai pada tahun 1955, meskipun pada tahap ini pekerjaan ini tidak ada kaitannya dengan FLT. Yutaka Taniyama memberikan pertanyaan menyangkut kurva eliptik, yakni kurva yang berbentuk y^2 = x^3 + ax + b dengan a dan b konstanta. Pekerjaan lanjutan oleh Weil dan Shimura menghasilkan suatu konjektur, dikenal sebagai Shimura Taniyama Weil conjecture. Pada tahun 1986 hubungan antara konjektur tersebut dengan FLT dibuat oleh Frey di Saarbrucken yang menunjukkan bahwa FLT jauh dari keingintahuan tak berguna dalam teori bilanagn tapi pada kenyataannya ia berhubungan dengan sipat dasar yang dimiliki ruang. Pekerjaan lanjutan oleh matematikawan lain menunjukkan bahwa contoh penyangkal FLT juga merupakan contoh penyangkal terhadap Shimura-Taniyama-Weil Conjecture. Bukti dari FLT diselesaikan pada tahun 1993 oleh Andrew Wiles, matematikawan Inggris yang bekerja di Princenton, USA. Wiles memberikan tiga kuliah di Isaac Newton Institute di Cambridge, Inggris. Yang pertama pada hari Senin tanggl 21 Juni, yang kedua pada hari Selasa tanggal 22 Juni. Pada kuliah terakhir yakni pada tanggal 23 Juni 1993 sekitar jam 10.30 pagi Wiles mengumumkan bahwa bukti dari FLT merupakan corollary dari hasil utama yang ia peroleh. Sebenarnya Wiles berhasil membuktikan Shimura-Taniyama-Weil Conjecture untuk suatu contoh kelas, termasuk yang diperlukan untuk membuktikan FLT. Akan tetapi ini bukan akhir dari cerita. Pada tanggal 4 Desember 1993 memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mengatakan The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures.
Pada bulan Maret 1994 Falting menulis kepada Scientific American, mengatakan If it were easy, he would have solved it by now. Strictly speaking, it was not a proof when it was announced Weil, juga kepada Scientific American menuliskan I believe he has had some good ideas in trying to construct the proof but the proof is not there. To some extent, proving Fermat’s theorem is like climbing Everest. If a man wants to climb Everest and falls short of it by 100 yards, he has not climbed Everest.
Sebenarnya, sejak awal tahun 1994 Wiles memulai kolaborasi dengan Richard Taylor dalam usahanya untuk mengisi lubang dalam pembuktian, Namun mereka memutuskan bahwa langkah kunci bukti, menggunakan metode yang digunakan Flach, tidak mungkin bekerja. Mereka mencoba pendekatan baru denagn ketidaksuksesan yang serupa. Pada bulan Agustus 1994 Wiles menghadiri Interna-tional Congress of Mathematicians tapi tidak pernah mendekati memecahkan kesulitannya. Taylor menyarankan sebagai usaha terakhir untuk memperluas metode Fach seperlunya dan Wiles meskipun yakin bahwa itu tidak akan berhasil, setuju unuk mencobanya terutama untuk meyakinkan Taylor bahwa hal tersebut tidak akan pernah berhasil. Wiles mengerjakannya sekitar dua minggu lamanya, kemudian tiba-tiba suatu inspirasi muncul. In a flash I saw that the thing that stopped it [the extension of Flach’s method] working was something that would make another method I had tried previously work.
Pada tanggal 6 Oktober, Wiles mengirimkan bukti baru kepada tiga koleganya termasuk Falting.Semua bukti yang diberikan lebih sederhan daripada yang sebelumnya. Falting mengirimkan penyederhanaan terhadap beberapa bagian. Tidak ada bukti dengan tingkat kerumitan seperti ini dijamin benar, jadi sejumlah kecil masih sangsi untuk beberapa waktu. Namun ketika Taylor memberikan kuliah pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last Theorem.
Teorema Terakhir Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat di abad ke-17. Teorema ini mengatakan:
untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi persamaan xn + yn = zn
Fermat mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi, terdengar konyol memang. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar di dunia matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris-Amerika Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teori ini.
Sir Andrew John Wiles (lahir tanggal 11 April 1953) adalah matematikawan Inggris-Amerika di Universitas Princeton dengan spesialisasi di teori bilangan. Ia terkenal sebagai penemu bukti Teorema Terakhir Fermat, sebuah teka-teki matematika yang tidak terpecahkan selama lebih dari 300 tahun.
Membuktikan teorema terakhir Fermat
Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat bukan-nol yang memenuhi persamaan: xn + yn = zn dengan n bilangan bulat lebih besar dari 2.
____________________________________
Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura
Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y² = x(x - ap)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.
Hasil kerja Andrew Wiles yang paling terkenal adalah membuktikan teorema terakhir Fermat dengan cara membuktikan teorema Taniyama-Shimura. Ia mengenal teorema terakhir Fermat sejak umur 10 tahun, dan berusaha membuktikannya dengan menggunakan buku-buku sekolah, dan akhirnya mempelajari karya-karya matematikawan yang berusaha membuktikan teorema tersebut. Saat ia memulai kuliah doktornya, ia berhenti bekerja dalam teorema ini, dan beralih ke bidang kurva elips dibawah bimbingan John Coates.
Pada 1950-an dan 1960-an, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengusulkan bahwa kurva elips dan bentuk modular terkait satu sama lain (teorema Shimura-Taniyama). Selanjutnya matematikawan Amerika, Ken Ribet, membuktikan bahwa teorema Shimura-Taniyama dan teorema terakhir Fermat adalah biimplikasi logis, yang artinya pembuktian teorema Shimura-Taniyama berarti teorema terakhir Fermat juga telah dibuktikan. Setelah mendengar hal ini, Wiles bekerja secara rahasia untuk membuktikan teorema Shimura-Taniyama. Hanya istri dan temannya, Nicholas Katz, saja yang mengetahui usahanya ini. Akhirnya Wiles membuktikan teorema Shimura-Taniyama dan konsekuensinya, membuktikan teorema terakhir Fermat dalam presentasi di Universitas Cambridge, 23 Juni 1993.
jika p = a^3 - 9ab^2 dan q = 3(a^2b - b^3)
Maka p^2 + 3q^2 = (3a^2b^2)^3
Pecahnya teka-teki teori matematika tersulit dalam dekade ini ibarat percikan api yang menghangatkan kebekuan yang sudah sekian lama menghantui dunia berhitung, ilmu yang merupakan dasar bagi semua ilmu pengetahuan itu.
Adalah Andrew Wiles, pria kelahiran Inggris yang hanya berbekal pena, kertas dan logika murninya, berhasil memecahkan teori matematika terakhir Fermat.
Rumus "sederhana", yang diciptakan ahli kelahiran Perancis, lebih dari 350 tahun "menyusahkan" otak-otak terbaik sebelum akhirnya Wiles memenangkan hadiah besar dan penghargaan dunia. Teori matematika itu sebanding dengan teori membelah atom atau merumuskan struktur DNA.
Laki-laki yang membuat para ahli memutar otak mereka selama berabad-abad itu adalah Pierre de Fermat dengan mengatakan tidak ada solusi untuk persamaan xn + yn = zn dimana n adalah bilangan yang lebih besar dari dua.
Fermat semakin membuat matematikawan marah setelah kemudian dengan tulisan tangan tergesa-gesa ia tinggalkan pesan di bawah teorinya bahwa dirinya telah menemukan bukti bahwa tidak ada teori yang dapat memecahkan rumusnya.
Dewasa ini cerita tentang kecemerlangan Wiles agaknya akan segera menjadi kisah yang sulit dipercaya dan laku dijual setelah seorang wartawan, Simin Singh, mengabadikannya dalam tulisan.
Dalam sebuah festival kesusasteraan di Inggris, Singh menjelaskan seluk-beluk usaha Wiles memecahkan teori Fermat.
"Cerita Wiles sangat mengagumkan. Jika anda sedang menulis skenario film Holywood maka ia seperti cerita Indiana Jones yang menemukan harta terpendam," kata Singh.
"Wiles berhasil membuat terobosan dalam ilmu matematika," kata Singh dengan menambahkan bahwa tulisannya tentang Wiles merupakan hal paling menantang selama karir jurnalistiknya.
Singh merasa yakin rasa antusias Wiles yang tanpa batas akan memikat para pembaca sekalipun mereka terlebih dahulu harus memahami sedikitnya tiga teori matematika lainnya yakni, perkiraan Taniyama-Shimura, metoda Kolyvagin-Flach dan perkiraan Epsilon.
Sebelum Wiles, puluhan matematikawan terkemuka memeras otak mereka dari pagi hingga ke pagi lagi demi memecahkan misteri yang ditingalkan Format. Diantaranya, wanita ahli matematika dari Perancis, Sophie Germain yang sampai menyarukan identitas dirinya demi mengikuti kontes pemecahkan teori Fermat yang pesertanya terbatas pada kaum pria. Atau Evariste Galois yang dibuat frustasi oleh teori Fermat, sehingga secara dramatis ia kemudian mengakhiri hidupnya dengan sebuah tembakan di kepalanya sendiri.
Kisah serupa juga terdengar di Jepang, terutama setelah si jenius Yutaka Taniyama memilih bunuh diri setelah sekian lama bergulat dengan teori tersebut tetapi tidak menunjukkan tanda-tanda keberhasilan.
Teori Fermat juga mempesona industriawan Jerman Paul Wolfskehl yang dengan inisiatifnya sendiri menyisihkan hartanya untuk membiayai kontes matematika memecahkan teori Fermat.
Umur 10 tahun
Tentang Wiles sendiri, pria berperilaku lemah-lembut itu kabarnya sudah sejak berumur 10 tahun penasaran dengan rumus Fermat. Namun baru 34 tahun kemudian dia berhasil menjawab rasa ingin tahunya.
Menurut Singh yang paling mengagumkan dari Wiles adalah keteguhan dan kesungguhan untuk merealisasikan "mimpi" masa kanak-kanak menjadi kenyataan. "Wiles punya mimpi, dan ia memegang teguh mimpinya", kata Singh
Untuk menjadikan mimpinya menjadi kenyataan Wiles perlu bertahun-tahun. Secara rahasia Wiles mempelajari teori Fermat. Kepada istrinya sendiri, Wiles hanya mengatakan bahwa yang ia sedang mempelajari cuma pelajaran matematika yang pernah dipelajari bersama ketika mereka sedang bulan madu.
Wiles mengatakan bahwa usahanya sama seperti masuk ke dalam puri gelap tanpa bekal alat penerangan.
"Begitu memasuki ruangan pertama, di sana benar-benar gelap gulita. Saya kemudian menabrak furnitur yang ada di dalamnya, tetapi secara bertahap saya mulai dapat meraba satu per satu," ujar Wiles yang oleh majalah People disejajarkan kepopulerannya dengan Putri Diana dan pembawa acara AS terkemuka Oprah Winfrey.
Akhirnya, setelah enam bulan kemudian saya menemukan lampu, saya menyalakannya dan seketika ruangan menjadi terang, kemudian saya dengan mudah memasuki ruangan lainnya" katanya.
Namun apa komentar Wiles sendiri setelah berhasil memecahkan teori yang sudah membuat sejumlah matematikawan bunuh diri?
Berhasil menyelesaikan suatu persoalan meninggalkan perasaan kehilangan tetapi hampir pada saat bersamaan muncul suatu kebebasan, kata Wiles.
""Saya menghabiskan waktu yang panjang untuk memikirkan suatu hal saja. Ketika petualangan itu berakhir, pikiran saya langsung beristirahat," ujarnya.
Bulan juni 1993, media-media cetak dan elektronika sempat gonjang-ganjing. Dunia ilmu pengetahuan gempar berat. Dan kegemparan itu berpangkal pada Prof. Dr. Andrew Wiles seorang matematikawan muda (40 tahun) yang ahli teori bilangan dari Universitas Priceton AS yang dinilai sukses besar dalam membuktikan dan memecahkan teka-teki teori terakhir Fermat yang telah berusia 356 tahun - setelah menyuntuki selama kurang lebih 5 tahun.
Dalam wujud kalimat, teorema atau dalim itu berbunyi : "jika x, y, dan z masing-masing merupakan bilangan bulat positif, maka x berpangkat n ditambah y berpangkat n mustahil akan menghasilkan z berpangkat n, keculai bila n berupa bilangan bulat dan maksimal sama dengan dua". (yang dimaksud bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya. Jadi bukan pecahan seperti 0,2 atau 0,3 atau 1/2, 1/4 dan semacamnya).
Sedang dalam bentuk persamaan dapat ditulis :
, untuk n > 2
Tapi, jika n = 2 maka akan sama persis dengan persamaan dari teorema Phytagoras yang sudah jamak bagi siswa sekolah menengah atau santri madrasah.
"Teka-teki" teori Fermat baru muncul jika n > 2
misalkan n = 3 maka 4^3 + 3^3 tak sama dengan 5^3 sebab 64 + 27 = 91 sedangkan 5^3 itu sendiri adalah 125. Dengan kata lain 91 bukanlah 5^3.
Jadi teori tersebut sangatlah benar. Yang payah ialah membuktikan kebenarannya itu. Cobalah umpamanya mencari bilangan z yang bulat untuk persamaan-persamaan dengan n > 2 berikut :
2^3 + 3^3 = z^3, maka z = ?
1^4 + 2^4 = z^4, maka z = ?
puyeng, saking sulitnya !
Teka-teki besar yang berusia 3 abad lebih inilah yang kabarnya telah mampu dibuktikan oleh Prof. Dr. Wiles pada tahun 1993 lalu, dan sebelumnya oleh pendekar matematika negeri Nippon, Yutaka Taniyama pada 1954 - walau secara tidak langsung.
Lantas apa kaitannya dengan Al-Khuyandi yang hidup sekitar 700 tahun sebelum lahirnya Pierre De Fermat, pencetus teori tersebut ?.
Ilmuwan legendaris Al-Biruni dalam "Tahdid Nihayat Al Amakin" dalam RIMA viii (1962) mengakui dan menyanjung-nyanjung Khuyandi sebagai cendekiawan yang "Awhad Zamanihi" (tiada tandingan dan tiada bandingan di masanya) terutama di bidang konstruksi aneka rupa peralatan astrolabe dan peralatan astronomis lain. Sejumlah manuskrip yang telah diabadikan dari risalahnya "Fi'amal al-Ala al-Amma" mendeskripsikan suatu instrumen universal yang disebut "al-Ala al-Amma" atau "al-Shamila". Ini biasanya digunakan sebagai pengganti asrolabe atau quadrant-alat berbentuk seperempat lingkaran. Astronom dan matematikawan spesialis geometri ini pintar pula merencang bangun sebuah sfera perlengkapan militer dan perlengkapan lain. Untuk merekayasa semua instrumen tersebut tentunya Al-Khuyandi telah habis-habisan berkubang dalam berbagai masalah teoritis bidang-bidang terkait, termasuklah umpamanya yang menyangkut tata letak rancangan sebuah astrolabe.
Dari eksperimen-eksperimen itulah Khuyandi berhasil pula menemukan setidak-tidaknya 2 metode seperti yang digunakan Abu Nasr Mansur, untuk menentukan posisi dan lingkaran-lingkaran dari azimut pada astolabe melalui titik potong atau persimpangan antara khatulistiwa (equator) dan mukantarat (risala fi mujazat dawa'ir al-Sumut fi'l Asturlab' dalam "rasa'il ila al-Biruni", Hyderabad 1948).
Karya terpenting Khuyandi dalam sfera instrumen-instrumen astronomis adalah sekstan yang disebut "al-Suda al-Fakhri" (dipersembahkan khusus kepada Fakhr al-Dawla) yang dirancang untuk menentukan kemiringan ekliptik. Peralatan tersebut dan bermacam observasi yang dilakukan dengan memakai instrumen itu dilukiskannya dalam buku "risala fi'il mayl wa 'ard al-balad" (editor L.Cheikho, dalam "Machriq", 1908).
Al-Biruni sendiri memberikan analisis terinci tentang ini dalam kitabnya "tahdid" yang dianggap dilandaskan pada "makalah fi tashih al-mayl" karangan Khuyandi (mungkin diidentikkan dengan "risala fi'l mayl" yang dikutip di atas).
Sekstan tersebut memiliki diameter 40 dhira' atau cubit (1 cubit kira-kira sama dengan 18-22 inchi), sedang sekstannya al-Biruni beridiameter 80 cubit. Dibuatnya di Tabruk dekat Rayy serta diselaraskan dengan perencanaan untuk menentukan meridian (garis bujur); dikelilingi dengan dinding-dinding dan bagian atasnya dilingkupi semacam atap dan dibagian tertentu terdapat semacam kubah atau kolong dengan sebuah celah bergaris tengah 3 shibr (= jengkal) berada persis di pusat sekstan. Alat ini dapat digunakan untuk mengukur cahaya matahari, melalui proses pemantulan cahaya matahari yang kemudian terlempar masuk ke dalam bolongan bulat pada sekstan tersebut. Dan untuk menentukan pusatnya, Khuyandi menggunakan sebuah lingkaran yang berjari-jari sama dengan 2 diameter yang tegak lurus dan ditempatkan dilingkaran tersebug sehingga dapat diterpa cahaya.
Intelektual yang gegap gempita dengan prestasi besar ini menekankan dan mengklaim bahwa sekstan merupakan hasil temuannya dan dengan itu, katanya, "Aku dapat membuat perhitungan-perhitungan hingga ke atom-atom terkecilnya". Instrumen serupa tampaknya telah digunakan pula dalam observatori-observatori di Maragha (didirikan sebelum tahun 660/1261 - 1262) dan di Samarkand (ditegakkan pada 823/1420).
Dengan "Suds al-Fakhri" ini, Khuyandi mengamati ketinggian meridian dititik balik matahari (soltice) musim kemarau dan dititik balik matahari musim dingin tahun 384/994. Prosedurnya meliputi kegiatan observasi-observasi selama 2 hari berturut-turut pada saat titik balik matahari dan dalam pemetaan, momentum yang tepat lewat matahari masuk ke titik baliknya. Semua ini dapat dilaksanakan sekitar bulan juni, namun observasi ulangan dengan prosedur sama, yang dilakukan di bulan desember mengalami hambatan oleh awan sehingga ketepatan dan keseksamaan seluruh observasi turut berpengaruh. Observasi-observasi tersebut dilakukan di bawah bimbingan dan pengawasan sekelompok intelektual peneliti senior, termasuk dalam hal penggarapan laporan-laporannya. Hasil nya adalah sigma = 23 derajat 32 menit 19 detik (sedang versi al-Biruni dalam "al-Kanun Al Mas'udi", Hyderabad 1954, adalah sigma = 23 derajat 32 menit 21 detik, terpaut 2 detik). Hasil tersebut jika diperbandingkan dengan pengamatan astronom-astronom india (24 derajat) dan Ptolemy (23 derajat 51 menit) akan semakin mengokohkan justifikasi pada keyakinan Khuyandi dalam masalah reduksi progresif pada kemiringan ekliptika. Al-Biruni sendiri percaya bahwa harga sigma itu konstan (dalam "Tahdid" dan "Kanun") menegaskan bahwa Khuyandi mengatakan kepadanya bahwa celah kolong yang dimasuki berkas cahaya matahari itu telah dipindahkan ke sebelah bawah sekitar sejengkal sebelum dilaksanakan observasi-observasi mengenai titik balik matahari musim dingin. Sehingga dengan demikian ia tidaklah tepat benar dengan pusat sekstan. Fakta ini dapat menjelaskan tentang berkurangnya harga sigma pada penentuan-penentuan lain yang dilakukan secara kasar di waktu-waktu yang sama.
Selain itu, Khuyandi melancarkan pula serentetan observasi ilmiah lain semisal menentukan garis lintang kota Rayy pada 35 derajat 34 menit 39 detik, disamping menegaskan bahwa ia juga telah mengobservasi planet-planet untuk (dipersembahkan hasilnya kepada) Fakhr al-Dawla dengan menggunakan sfera-sfera untuk keperluan kemiliteran dan peralatan astronomi lain.
Hasil akhir dari penelitian tersebut dikompilasi dalam sebuah buku bertajuk "al-Zij al-Fakhri". Selain itu, sebuah salinan dari sebuah "Zij" berbahasa Persia, diabadikan dalam Majlis Library di Teheran Iran, diduga didasarkan pada observasi-observasi ilmiah al-Khuyandi. Periode yang tercantum pada tabel-tabel pergerakan-pergerakan rerata itu adalah 600 tahun dari era Yazdagirdi, atau seputar 2 abad setelah kemangkatan al-Khuyandi (lihat E.S. Kennedy, "A Surve 0f Islamic Astronomical Tables", sebuah survey perihal tabel-tabel astronomi islam, 1956).
Nama resmi ilmuwan asal Khuyand Transoxania ini adalah Abu Mahmud Hamid bin al-Khidr al-Khuyandi. ia hidup di masa pemerintahan Buwayhid Fakhr al-Dawla (366-387/976 - 997) dan wafat ditahun 390/1000 dengan mewariskan sejumlah karya ilmiah dibidang astronomi dan matematika, khususnya geometri.
Di antara begitu banyak karya matematikanya, yang pada umunya telah menguap entah ke mana, sebagian masih bisa dijumpai di Kairo yaitu dalam wujud manuskrip dari sebuah risala tentang geometri. Dan perhatian utamanya difokuskan khusus pada resolusi atau penguraian persamaan-persamaan berpangkat 3 dengan metode-metode geometri. Dari kekhusyuan mengkaji dan ketekunannya menelaah ia berhasil menciptakan satu rumusan atau dalil atau teorema yang berbunyi bahwa "jumlah dua bilangan berpangkat 3 tak akan membuahkan bilangan berpangkat 3 lainnya" (The sum of two cubed numbers cannot be another cube).
Kendati bunyi kalimat kedua teorema tersebut (versi Fermat dan versi Khuyandi) tampak berbeda namun jika dicermati baik-baik, apalagi kalau disertai dengan elaborasi intelektual yang memadai maka akan terasa adanya nuansa kemiripan. Atau mungkin, dengan kalimat yang bijaksana dapat dikatakan bahwa teori Fermat tersebut bukanlah gagasan murni Pierre De Fermat melainkan merupakan pengembangan berantai dari ide atau teorem al-Khuyandi yang telah berumur kurang lebih 1000 tahun itu. Atau paling tidak, Khuyandi memiliki saham utama bagi munculnya teka-teki teori Fermat. Perlu pula diingatkan bahwa dalil tersebut ditulis Fermat hanya dalam bentuk catatan-catatan lepas di tepi halaman bukunya. Lalu menyebutkan bahwa ia telah menemukan bukti-buktinya - namun tidak dituliskannya, dengan alasan kekurangan tempat di halaman buku tersbut.
Di samping teori itu, Khuyandi pun terbilang penemu "Kaidah Sinus" yang diistilakannya sebagai "Kaidah Astronomis".
Nasir al-Din al-Tusi dalam "kitan Shakl al-Katta", Istambul 1891 menegaskan bahwa Abu'l Wafa' al-Buzajani, Abu Nasr Mansur bin Ali bin Irak dan al-Khuyandi merupakan 3 serangkai penulis yang memiliki peran dan jasa besar dalam penemuan "Kaidah Sinus", (atau "Kaidah Astronomis" (Kanun al-Hay'a menurut istilah Khuyandi, lantaran kerapnya digunakan dalam astronomi)). Meskipun demikian, P.Luckey dalam salah satu bukunya, pada prinsipnya menolak pera al-Khuyandi dengan alasan bahwa ia adalah "intelektual lapangan". Kendati karyanya merupakan karya-karya unggulan yang menghentak emosi namun dia lebih sibuk bergerak di ladang astronomis praktis.
Terdapat tak terhingga banyaknya bilangan bulat tidak nol x, y, z yang memenuhi persamaan x2+y2 = z2. Tetapi, bagaimana dengan persamaan x3 + y3 = z3 atau, lebih umum lagi, xn + yn = zn dimana n adalah suatu bilangan bulat yang lebih besar daripada 2 dan x, y, z adalah bilangan bulat tidak nol? Tidak seorang pun yang sudah menemukan solusi tunggal dari persamaan ini dan tidak seorang pun yang mungkin akan menemukannya. Usaha luar biasa yang diusahakan oleh tokoh-tokoh seperti Euler, Legendre, Habel, Gauss, Dirichlet, Cauchy, Kummer, Kronecker, dan Hilbert untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi yang memenuhinya sudah sangat mempengaruhi pengembangan dari teori ring (gelanggang).
Sekitar ribuan tahun yang lalu, ahli matematik Arab salah memberikan bukti bahwa tiada solusi untuk n = 3. Masalah tersebut menghilang sampai tahun 1637, saat ahli matematik Prancis bernama Pierre de Fermat (1601-1665) menulis dalam garis tepi bukunya, “…adalah tidak mungkin memisahkan suatu pangkat tiga ke dalam dua buah pangkat tiga, suatu pangkat empat ke dalam dua buah pangkat empat, atau, secara umum, sebarang pangkat di atas dua ke dalam dua buah pangkat dengan derajat yang sama: Saya sudah menemukan suatu pengungkapan yang bagus sekali [dari teorema umum ini] yang mana garis tepi ini terlalu sempit untuk memuatnya.”
Karena Fermat memberikannya tanpa bukti, banyak ahli matematik sudah mencoba untuk membuktikan hasilnya. Kasus untuk n = 3 dikerjakan oleh Euler pada tahun 1770, meski buktinya tidak lengkap. Kasus untuk n = 4 adalah mendasar dan dikerjakan oleh Fermat sendiri. Kasus n = 5 telah dikerjakan pada tahun 1825 oleh Dirichlet, dan oleh Legendre. Karena kebenaran kasus untuk bilangan bulat tertentu mengakibatkan kebenaran untuk semua perkalian dari bilangan bulat tersebut, kasus berikutnya menarik untuk n = 7. Kasus ini menentang usaha-usaha dari para ahli matematik terbaik sampai itu dikerjakan oleh Gabriel Lame pada tahun 1839. Pada tahun 1847, Lame membuat gempar dengan mengumumkan bahwa ia telah dengan sepenuhnya memecahkan masalah ini. Pendekatannya adalah memfaktorkan ekspresi xp + yP dimana p adalah bilangan prima ke dalam
(x+y) (x+αy) … (x+αp-1y)
dimana α adalah bilangan kompleks cos(2π/p) +i sin(2π/p). Dengan demikian, faktorisasinya mengambil tempat di dalam ring Z[α] = {ao + a1α + … +aP-1αp-1 | αi ϵ Z}. Tetapi Lame membuat kekeliruan dengan mengasumsikan bahwa dalam ring yang demikian, faktorisasi ke dalam produk dari irreducible adalah unik. Sebenarnya, tiga tahun sebelumnya, Ernst Eduard Kummer telah membuktikan bahwa ini bukan selalu kasusnya. Tak gentar oleh kegagalan dari faktorisasi unik, Kummer mulai mengembangkan suatu teori untuk “menyelamatkan” faktorisasi dengan menciptakan suatu jenis bilangan yang baru. Dalam beberapa minggu pengumuman Lame, Kummer telah menunjukkan bahwa Teorema Fermat adalah benar untuk semua bilangan prima dari suatu jenis yang khusus. Hal ini membuktikan bahwa teorema benar untuk semua eksponen kurang dari 100, baik bilangan prima maupun tidak, kecuali untuk 37, 59, 67, dan 74. Pekerjaan Kummer sudah memelopori pada teori dari ideal sebagaimana kita ketahui sekarang.
Selama berabad-abad banyak pembuktian yang telah diusulkan, tetapi tidak satupun yang dapat diterima di bawah penelitian yang cermat. Ahli teori bilangan yang terkenal, Edmund Laudau, menerima begitu banyak dari semua itu yang telah ia wujudkan yang dicetak dengan “Di halaman_____ , baris_______sampai (baris)_____ anda akan menemukan ada suatu kekeliruan.” Martin Gardner, kolumnis “Mathematical Games” dari terbitan Scientific American, telah mencetak kartu pos-kartu pos untuk menolak permintaan dari para pembaca yang memintanya untuk menguji bukti mereka.
Dibantu oleh komputer, para ahli matematik zaman ini sudah membuat penindaklanjutan yang luar biasa. Sekarang diketahui bahwa Teorema Fermat adalah benar untuk semua eksponen sampai dengan 150000 dan semua x sampai dengan 101800000. Representasi desimal untuk xn di dalam sebarang perhitungan contoh akan mengisi sedikitnya sepuluh juta halaman tercetak! Penemuan-penemuan terbaru sudah mengikat Teorema Fermat untuk lekat pada teori-teori matematika yang modern, memberi harapan bahwa teori-teori tersebut pada akhirnya menjurus kepada suatu bukti. Pada bulan Maret 1988, koran-koran dan penerbitan ilmiah di seluruh dunia membawa berita dari bukti oleh Yoichi Miyaoka. Selama berminggu-minggu, optimisme berhati-hati tentang kebenaran itu telah mengarah ke pesimisme. Gugurnya bukti Miyaoka dengan indahnya diratapi oleh seorang penulis esai majalah Time. Tetapi sejarah dari Teorema Fermat adalah pengulangan dari pengembangan-pengembangan penting yang timbul dari usaha-usaha yang gagal.
Pada bulan Juni 1993, kegembiraan menyebar ke komunitas matematika dengan pengumuman bahwa Andrew Wiles dari Universitas Princeton telah membuktikan Teorema Terakhir Fermat. Ketua departemen Matematika Princeton berkata, “Ketika kita mendengarnya, orang-orang mulai berjalan di udara.” Tetapi sekali lagi suatu bukti tidak dipenuhi di bawah penelitian yang cermat. Kisah ini mempunyai akhiran yang bahagia. Suatu bukti yang ditinjau kembali pada bulan September 1994 sudah diterima sebagai valid oleh komunitas matematika.
Mengingat fakta bahwa begitu banyak para ahli matematik terkenal yang tidak mampu untuk membuktikan Teorema Fermat, meskipun ketersediaan teori-teori yang canggih telah dikembangkan, kelihatannya Fermat sangat mungkin tidak mempunyai suatu bukti yang benar. Hampir bisa dipastikan, ia membuat kesalahan bahwa para penggantinya dibuat mengira bahwa sifat dari bilangan bulat, seperti faktorisasi yang unik, memindahkannya kepada domain integral secara umum.
Fermat's last Theorem itu..
Banyak yang mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan
dalam apendik suatu buku teks.
Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan
segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat
tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai
bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik.
Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3)
maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari
Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus. Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan
Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville.
Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4.
(yang dibuktikan oleh Gauss).
Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2. Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus. Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).
Teorema Terakhir Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat di abad ke-17. Teorema ini mengatakan:
untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat bukan nol x, y, dan z yang memenuhi persamaan xn + yn = zn
Fermat mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi, terdengar konyol memang. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar di dunia matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris-Amerika Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teori ini.
Pierre di Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus.
Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n.
Sophie Germain membuktikan kasus pertama dari Teorema Fermat untuk semua n kurang dari 100 dan Legendre memperluas metode yang dikembangkan Germain meliputi semua bilangan kurang dari 197. Dalam tahap ini kasus 2 belum pernah dibuktikan bahkan untuk kasus n = 5, sehingga menjadi jelas bahwa kasus 2 harus diperhatikan lebih serius. Sekarang kasus 2 untuk n = 5 juga terpecah kedalam dua kasus lain.Kasus 2(i) jika bilangan yang habis dibagi 5 tersebut genap dan kasus 2(ii) jika bilangan genap dan bilangan satunya yang habis dibagi 5 berbeda.
Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).]
Pada tanggal 24 Mei Liouville membaca suarat yang ditujukan pada Acad- emy yang memberikan kepastian. Surat tersebut berasal dari Kummer, menyertakan paper bertahun 1844 yang membuktikan bahwa ketunggalan faktorisasi tidak dipenuhi tapi dapat diperbaiki dengan memperkenalkan konsep bilangan ideal kompleks yang telah ia kerjakan pada tahun 1846. Kummer telah menggunakan teori barunya untuk mencari kondisi kapan suatu bilangan prima regulear dan telah membuktikan FLT untuk semua bilangan prima regular. Kummer juga menyertakan dalam suratnya ini bahwa 37 akan gagal terhadap kondisi yang ia berikan. Pada bulan Sepetmber 1847 Kummer mengirimi Dirichlet dan Berlin Academy suatu papaer yang membuktikan bahwa suatu prima p regular (dan dengan demikian FLT benar untuk bilangan tersebut) jika p tidak membagi pembilang dari semua bilangan Bernoulli B2,B4, ...,Bp−3. Bilangan Bernoulli Bn didefinisikan oleh :
Kummer menunjukkan bahwa semua bilangan prima kurang dari 37 adalah regular, tapi 37 tidak regular karena 37 membagi pembilang dari B32. Bilangan prima kurang dari 100 yang tidak regular hanyalah 37,59, dan 67.Teknik yang lebih cangih digunakan untuk membuktikan FLT untuk bilangan ini. Pekerjaan ini dilakukan dan dilanjutkan oleh Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler,Vandiver dan lainnya. Meskipun diharapkan bahwa bilangan prima regular ini takberhingga banyaknya. Pada tahun 1915 Jensen membuktikan bahwa bilangan prima takregular takberhingga banyaknya. Alih-alih mendapatkan hadiah bagi siapa yang memecahkannya, FLT tetap tak terpecahkan. Ia merupakan teorema dengan banyak bukti yang salah. Sebagai contoh 1000 bukti yang salah telah diterbitkan antara tahun 1908 dan 1912. Satu-satunya kemajuan positif adalah hasil komputasi yang menunjukkan bahwa bukti penyangkal hanya bisa didapatkan untuk bilangan yang sangat besar. Dengan menggunakan teknik yang digunakan Kummer, FLT terbukti benar, dengan bantuan komputer untuk n sampai dengan 4 000 000 pada tahun 1993. Pada tahun 1983 kontribusi besar dibuat oleh Gerd Falting yang membuktikan bahwa untuk n > 2 hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan relative prima x, y, z dengan x^n + y^n = z^n . Ini merupakan langkah besar tapi bukti bahwa berhingga bilangan adalah 0 tampaknya tidak bisa didapatkan dengan memperluas argumen Falting. Bab terakhir dari cerita ini dimulai pada tahun 1955, meskipun pada tahap ini pekerjaan ini tidak ada kaitannya dengan FLT. Yutaka Taniyama memberikan pertanyaan menyangkut kurva eliptik, yakni kurva yang berbentuk y^2 = x^3 + ax + b dengan a dan b konstanta. Pekerjaan lanjutan oleh Weil dan Shimura menghasilkan suatu konjektur, dikenal sebagai Shimura Taniyama Weil conjecture. Pada tahun 1986 hubungan antara konjektur tersebut dengan FLT dibuat oleh Frey di Saarbrucken yang menunjukkan bahwa FLT jauh dari keingintahuan tak berguna dalam teori bilanagn tapi pada kenyataannya ia berhubungan dengan sipat dasar yang dimiliki ruang. Pekerjaan lanjutan oleh matematikawan lain menunjukkan bahwa contoh penyangkal FLT juga merupakan contoh penyangkal terhadap Shimura-Taniyama-Weil Conjecture. Bukti dari FLT diselesaikan pada tahun 1993 oleh Andrew Wiles, matematikawan Inggris yang bekerja di Princenton, USA. Wiles memberikan tiga kuliah di Isaac Newton Institute di Cambridge, Inggris. Yang pertama pada hari Senin tanggl 21 Juni, yang kedua pada hari Selasa tanggal 22 Juni. Pada kuliah terakhir yakni pada tanggal 23 Juni 1993 sekitar jam 10.30 pagi Wiles mengumumkan bahwa bukti dari FLT merupakan corollary dari hasil utama yang ia peroleh. Sebenarnya Wiles berhasil membuktikan Shimura-Taniyama-Weil Conjecture untuk suatu contoh kelas, termasuk yang diperlukan untuk membuktikan FLT. Akan tetapi ini bukan akhir dari cerita. Pada tanggal 4 Desember 1993 memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mengatakan The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures.
Pada bulan Maret 1994 Falting menulis kepada Scientific American, mengatakan If it were easy, he would have solved it by now. Strictly speaking, it was not a proof when it was announced Weil, juga kepada Scientific American menuliskan I believe he has had some good ideas in trying to construct the proof but the proof is not there. To some extent, proving Fermat’s theorem is like climbing Everest. If a man wants to climb Everest and falls short of it by 100 yards, he has not climbed Everest.
Sebenarnya, sejak awal tahun 1994 Wiles memulai kolaborasi dengan Richard Taylor dalam usahanya untuk mengisi lubang dalam pembuktian, Namun mereka memutuskan bahwa langkah kunci bukti, menggunakan metode yang digunakan Flach, tidak mungkin bekerja. Mereka mencoba pendekatan baru denagn ketidaksuksesan yang serupa. Pada bulan Agustus 1994 Wiles menghadiri Interna-tional Congress of Mathematicians tapi tidak pernah mendekati memecahkan kesulitannya. Taylor menyarankan sebagai usaha terakhir untuk memperluas metode Fach seperlunya dan Wiles meskipun yakin bahwa itu tidak akan berhasil, setuju unuk mencobanya terutama untuk meyakinkan Taylor bahwa hal tersebut tidak akan pernah berhasil. Wiles mengerjakannya sekitar dua minggu lamanya, kemudian tiba-tiba suatu inspirasi muncul. In a flash I saw that the thing that stopped it [the extension of Flach’s method] working was something that would make another method I had tried previously work.
Pada tanggal 6 Oktober, Wiles mengirimkan bukti baru kepada tiga koleganya termasuk Falting.Semua bukti yang diberikan lebih sederhan daripada yang sebelumnya. Falting mengirimkan penyederhanaan terhadap beberapa bagian. Tidak ada bukti dengan tingkat kerumitan seperti ini dijamin benar, jadi sejumlah kecil masih sangsi untuk beberapa waktu. Namun ketika Taylor memberikan kuliah pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last Theorem.
Teorema Terakhir Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat di abad ke-17. Teorema ini mengatakan:
untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi persamaan xn + yn = zn
Fermat mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi, terdengar konyol memang. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar di dunia matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris-Amerika Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teori ini.
Sir Andrew John Wiles (lahir tanggal 11 April 1953) adalah matematikawan Inggris-Amerika di Universitas Princeton dengan spesialisasi di teori bilangan. Ia terkenal sebagai penemu bukti Teorema Terakhir Fermat, sebuah teka-teki matematika yang tidak terpecahkan selama lebih dari 300 tahun.
Membuktikan teorema terakhir Fermat
Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat bukan-nol yang memenuhi persamaan: xn + yn = zn dengan n bilangan bulat lebih besar dari 2.
____________________________________
Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura
Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y² = x(x - ap)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.
Hasil kerja Andrew Wiles yang paling terkenal adalah membuktikan teorema terakhir Fermat dengan cara membuktikan teorema Taniyama-Shimura. Ia mengenal teorema terakhir Fermat sejak umur 10 tahun, dan berusaha membuktikannya dengan menggunakan buku-buku sekolah, dan akhirnya mempelajari karya-karya matematikawan yang berusaha membuktikan teorema tersebut. Saat ia memulai kuliah doktornya, ia berhenti bekerja dalam teorema ini, dan beralih ke bidang kurva elips dibawah bimbingan John Coates.
Pada 1950-an dan 1960-an, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengusulkan bahwa kurva elips dan bentuk modular terkait satu sama lain (teorema Shimura-Taniyama). Selanjutnya matematikawan Amerika, Ken Ribet, membuktikan bahwa teorema Shimura-Taniyama dan teorema terakhir Fermat adalah biimplikasi logis, yang artinya pembuktian teorema Shimura-Taniyama berarti teorema terakhir Fermat juga telah dibuktikan. Setelah mendengar hal ini, Wiles bekerja secara rahasia untuk membuktikan teorema Shimura-Taniyama. Hanya istri dan temannya, Nicholas Katz, saja yang mengetahui usahanya ini. Akhirnya Wiles membuktikan teorema Shimura-Taniyama dan konsekuensinya, membuktikan teorema terakhir Fermat dalam presentasi di Universitas Cambridge, 23 Juni 1993.
jika p = a^3 - 9ab^2 dan q = 3(a^2b - b^3)
Maka p^2 + 3q^2 = (3a^2b^2)^3
Pecahnya teka-teki teori matematika tersulit dalam dekade ini ibarat percikan api yang menghangatkan kebekuan yang sudah sekian lama menghantui dunia berhitung, ilmu yang merupakan dasar bagi semua ilmu pengetahuan itu.
Adalah Andrew Wiles, pria kelahiran Inggris yang hanya berbekal pena, kertas dan logika murninya, berhasil memecahkan teori matematika terakhir Fermat.
Rumus "sederhana", yang diciptakan ahli kelahiran Perancis, lebih dari 350 tahun "menyusahkan" otak-otak terbaik sebelum akhirnya Wiles memenangkan hadiah besar dan penghargaan dunia. Teori matematika itu sebanding dengan teori membelah atom atau merumuskan struktur DNA.
Laki-laki yang membuat para ahli memutar otak mereka selama berabad-abad itu adalah Pierre de Fermat dengan mengatakan tidak ada solusi untuk persamaan xn + yn = zn dimana n adalah bilangan yang lebih besar dari dua.
Fermat semakin membuat matematikawan marah setelah kemudian dengan tulisan tangan tergesa-gesa ia tinggalkan pesan di bawah teorinya bahwa dirinya telah menemukan bukti bahwa tidak ada teori yang dapat memecahkan rumusnya.
Dewasa ini cerita tentang kecemerlangan Wiles agaknya akan segera menjadi kisah yang sulit dipercaya dan laku dijual setelah seorang wartawan, Simin Singh, mengabadikannya dalam tulisan.
Dalam sebuah festival kesusasteraan di Inggris, Singh menjelaskan seluk-beluk usaha Wiles memecahkan teori Fermat.
"Cerita Wiles sangat mengagumkan. Jika anda sedang menulis skenario film Holywood maka ia seperti cerita Indiana Jones yang menemukan harta terpendam," kata Singh.
"Wiles berhasil membuat terobosan dalam ilmu matematika," kata Singh dengan menambahkan bahwa tulisannya tentang Wiles merupakan hal paling menantang selama karir jurnalistiknya.
Singh merasa yakin rasa antusias Wiles yang tanpa batas akan memikat para pembaca sekalipun mereka terlebih dahulu harus memahami sedikitnya tiga teori matematika lainnya yakni, perkiraan Taniyama-Shimura, metoda Kolyvagin-Flach dan perkiraan Epsilon.
Sebelum Wiles, puluhan matematikawan terkemuka memeras otak mereka dari pagi hingga ke pagi lagi demi memecahkan misteri yang ditingalkan Format. Diantaranya, wanita ahli matematika dari Perancis, Sophie Germain yang sampai menyarukan identitas dirinya demi mengikuti kontes pemecahkan teori Fermat yang pesertanya terbatas pada kaum pria. Atau Evariste Galois yang dibuat frustasi oleh teori Fermat, sehingga secara dramatis ia kemudian mengakhiri hidupnya dengan sebuah tembakan di kepalanya sendiri.
Kisah serupa juga terdengar di Jepang, terutama setelah si jenius Yutaka Taniyama memilih bunuh diri setelah sekian lama bergulat dengan teori tersebut tetapi tidak menunjukkan tanda-tanda keberhasilan.
Teori Fermat juga mempesona industriawan Jerman Paul Wolfskehl yang dengan inisiatifnya sendiri menyisihkan hartanya untuk membiayai kontes matematika memecahkan teori Fermat.
Umur 10 tahun
Tentang Wiles sendiri, pria berperilaku lemah-lembut itu kabarnya sudah sejak berumur 10 tahun penasaran dengan rumus Fermat. Namun baru 34 tahun kemudian dia berhasil menjawab rasa ingin tahunya.
Menurut Singh yang paling mengagumkan dari Wiles adalah keteguhan dan kesungguhan untuk merealisasikan "mimpi" masa kanak-kanak menjadi kenyataan. "Wiles punya mimpi, dan ia memegang teguh mimpinya", kata Singh
Untuk menjadikan mimpinya menjadi kenyataan Wiles perlu bertahun-tahun. Secara rahasia Wiles mempelajari teori Fermat. Kepada istrinya sendiri, Wiles hanya mengatakan bahwa yang ia sedang mempelajari cuma pelajaran matematika yang pernah dipelajari bersama ketika mereka sedang bulan madu.
Wiles mengatakan bahwa usahanya sama seperti masuk ke dalam puri gelap tanpa bekal alat penerangan.
"Begitu memasuki ruangan pertama, di sana benar-benar gelap gulita. Saya kemudian menabrak furnitur yang ada di dalamnya, tetapi secara bertahap saya mulai dapat meraba satu per satu," ujar Wiles yang oleh majalah People disejajarkan kepopulerannya dengan Putri Diana dan pembawa acara AS terkemuka Oprah Winfrey.
Akhirnya, setelah enam bulan kemudian saya menemukan lampu, saya menyalakannya dan seketika ruangan menjadi terang, kemudian saya dengan mudah memasuki ruangan lainnya" katanya.
Namun apa komentar Wiles sendiri setelah berhasil memecahkan teori yang sudah membuat sejumlah matematikawan bunuh diri?
Berhasil menyelesaikan suatu persoalan meninggalkan perasaan kehilangan tetapi hampir pada saat bersamaan muncul suatu kebebasan, kata Wiles.
""Saya menghabiskan waktu yang panjang untuk memikirkan suatu hal saja. Ketika petualangan itu berakhir, pikiran saya langsung beristirahat," ujarnya.
Bulan juni 1993, media-media cetak dan elektronika sempat gonjang-ganjing. Dunia ilmu pengetahuan gempar berat. Dan kegemparan itu berpangkal pada Prof. Dr. Andrew Wiles seorang matematikawan muda (40 tahun) yang ahli teori bilangan dari Universitas Priceton AS yang dinilai sukses besar dalam membuktikan dan memecahkan teka-teki teori terakhir Fermat yang telah berusia 356 tahun - setelah menyuntuki selama kurang lebih 5 tahun.
Dalam wujud kalimat, teorema atau dalim itu berbunyi : "jika x, y, dan z masing-masing merupakan bilangan bulat positif, maka x berpangkat n ditambah y berpangkat n mustahil akan menghasilkan z berpangkat n, keculai bila n berupa bilangan bulat dan maksimal sama dengan dua". (yang dimaksud bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya. Jadi bukan pecahan seperti 0,2 atau 0,3 atau 1/2, 1/4 dan semacamnya).
Sedang dalam bentuk persamaan dapat ditulis :
, untuk n > 2
Tapi, jika n = 2 maka akan sama persis dengan persamaan dari teorema Phytagoras yang sudah jamak bagi siswa sekolah menengah atau santri madrasah.
"Teka-teki" teori Fermat baru muncul jika n > 2
misalkan n = 3 maka 4^3 + 3^3 tak sama dengan 5^3 sebab 64 + 27 = 91 sedangkan 5^3 itu sendiri adalah 125. Dengan kata lain 91 bukanlah 5^3.
Jadi teori tersebut sangatlah benar. Yang payah ialah membuktikan kebenarannya itu. Cobalah umpamanya mencari bilangan z yang bulat untuk persamaan-persamaan dengan n > 2 berikut :
2^3 + 3^3 = z^3, maka z = ?
1^4 + 2^4 = z^4, maka z = ?
puyeng, saking sulitnya !
Teka-teki besar yang berusia 3 abad lebih inilah yang kabarnya telah mampu dibuktikan oleh Prof. Dr. Wiles pada tahun 1993 lalu, dan sebelumnya oleh pendekar matematika negeri Nippon, Yutaka Taniyama pada 1954 - walau secara tidak langsung.
Lantas apa kaitannya dengan Al-Khuyandi yang hidup sekitar 700 tahun sebelum lahirnya Pierre De Fermat, pencetus teori tersebut ?.
Ilmuwan legendaris Al-Biruni dalam "Tahdid Nihayat Al Amakin" dalam RIMA viii (1962) mengakui dan menyanjung-nyanjung Khuyandi sebagai cendekiawan yang "Awhad Zamanihi" (tiada tandingan dan tiada bandingan di masanya) terutama di bidang konstruksi aneka rupa peralatan astrolabe dan peralatan astronomis lain. Sejumlah manuskrip yang telah diabadikan dari risalahnya "Fi'amal al-Ala al-Amma" mendeskripsikan suatu instrumen universal yang disebut "al-Ala al-Amma" atau "al-Shamila". Ini biasanya digunakan sebagai pengganti asrolabe atau quadrant-alat berbentuk seperempat lingkaran. Astronom dan matematikawan spesialis geometri ini pintar pula merencang bangun sebuah sfera perlengkapan militer dan perlengkapan lain. Untuk merekayasa semua instrumen tersebut tentunya Al-Khuyandi telah habis-habisan berkubang dalam berbagai masalah teoritis bidang-bidang terkait, termasuklah umpamanya yang menyangkut tata letak rancangan sebuah astrolabe.
Dari eksperimen-eksperimen itulah Khuyandi berhasil pula menemukan setidak-tidaknya 2 metode seperti yang digunakan Abu Nasr Mansur, untuk menentukan posisi dan lingkaran-lingkaran dari azimut pada astolabe melalui titik potong atau persimpangan antara khatulistiwa (equator) dan mukantarat (risala fi mujazat dawa'ir al-Sumut fi'l Asturlab' dalam "rasa'il ila al-Biruni", Hyderabad 1948).
Karya terpenting Khuyandi dalam sfera instrumen-instrumen astronomis adalah sekstan yang disebut "al-Suda al-Fakhri" (dipersembahkan khusus kepada Fakhr al-Dawla) yang dirancang untuk menentukan kemiringan ekliptik. Peralatan tersebut dan bermacam observasi yang dilakukan dengan memakai instrumen itu dilukiskannya dalam buku "risala fi'il mayl wa 'ard al-balad" (editor L.Cheikho, dalam "Machriq", 1908).
Al-Biruni sendiri memberikan analisis terinci tentang ini dalam kitabnya "tahdid" yang dianggap dilandaskan pada "makalah fi tashih al-mayl" karangan Khuyandi (mungkin diidentikkan dengan "risala fi'l mayl" yang dikutip di atas).
Sekstan tersebut memiliki diameter 40 dhira' atau cubit (1 cubit kira-kira sama dengan 18-22 inchi), sedang sekstannya al-Biruni beridiameter 80 cubit. Dibuatnya di Tabruk dekat Rayy serta diselaraskan dengan perencanaan untuk menentukan meridian (garis bujur); dikelilingi dengan dinding-dinding dan bagian atasnya dilingkupi semacam atap dan dibagian tertentu terdapat semacam kubah atau kolong dengan sebuah celah bergaris tengah 3 shibr (= jengkal) berada persis di pusat sekstan. Alat ini dapat digunakan untuk mengukur cahaya matahari, melalui proses pemantulan cahaya matahari yang kemudian terlempar masuk ke dalam bolongan bulat pada sekstan tersebut. Dan untuk menentukan pusatnya, Khuyandi menggunakan sebuah lingkaran yang berjari-jari sama dengan 2 diameter yang tegak lurus dan ditempatkan dilingkaran tersebug sehingga dapat diterpa cahaya.
Intelektual yang gegap gempita dengan prestasi besar ini menekankan dan mengklaim bahwa sekstan merupakan hasil temuannya dan dengan itu, katanya, "Aku dapat membuat perhitungan-perhitungan hingga ke atom-atom terkecilnya". Instrumen serupa tampaknya telah digunakan pula dalam observatori-observatori di Maragha (didirikan sebelum tahun 660/1261 - 1262) dan di Samarkand (ditegakkan pada 823/1420).
Dengan "Suds al-Fakhri" ini, Khuyandi mengamati ketinggian meridian dititik balik matahari (soltice) musim kemarau dan dititik balik matahari musim dingin tahun 384/994. Prosedurnya meliputi kegiatan observasi-observasi selama 2 hari berturut-turut pada saat titik balik matahari dan dalam pemetaan, momentum yang tepat lewat matahari masuk ke titik baliknya. Semua ini dapat dilaksanakan sekitar bulan juni, namun observasi ulangan dengan prosedur sama, yang dilakukan di bulan desember mengalami hambatan oleh awan sehingga ketepatan dan keseksamaan seluruh observasi turut berpengaruh. Observasi-observasi tersebut dilakukan di bawah bimbingan dan pengawasan sekelompok intelektual peneliti senior, termasuk dalam hal penggarapan laporan-laporannya. Hasil nya adalah sigma = 23 derajat 32 menit 19 detik (sedang versi al-Biruni dalam "al-Kanun Al Mas'udi", Hyderabad 1954, adalah sigma = 23 derajat 32 menit 21 detik, terpaut 2 detik). Hasil tersebut jika diperbandingkan dengan pengamatan astronom-astronom india (24 derajat) dan Ptolemy (23 derajat 51 menit) akan semakin mengokohkan justifikasi pada keyakinan Khuyandi dalam masalah reduksi progresif pada kemiringan ekliptika. Al-Biruni sendiri percaya bahwa harga sigma itu konstan (dalam "Tahdid" dan "Kanun") menegaskan bahwa Khuyandi mengatakan kepadanya bahwa celah kolong yang dimasuki berkas cahaya matahari itu telah dipindahkan ke sebelah bawah sekitar sejengkal sebelum dilaksanakan observasi-observasi mengenai titik balik matahari musim dingin. Sehingga dengan demikian ia tidaklah tepat benar dengan pusat sekstan. Fakta ini dapat menjelaskan tentang berkurangnya harga sigma pada penentuan-penentuan lain yang dilakukan secara kasar di waktu-waktu yang sama.
Selain itu, Khuyandi melancarkan pula serentetan observasi ilmiah lain semisal menentukan garis lintang kota Rayy pada 35 derajat 34 menit 39 detik, disamping menegaskan bahwa ia juga telah mengobservasi planet-planet untuk (dipersembahkan hasilnya kepada) Fakhr al-Dawla dengan menggunakan sfera-sfera untuk keperluan kemiliteran dan peralatan astronomi lain.
Hasil akhir dari penelitian tersebut dikompilasi dalam sebuah buku bertajuk "al-Zij al-Fakhri". Selain itu, sebuah salinan dari sebuah "Zij" berbahasa Persia, diabadikan dalam Majlis Library di Teheran Iran, diduga didasarkan pada observasi-observasi ilmiah al-Khuyandi. Periode yang tercantum pada tabel-tabel pergerakan-pergerakan rerata itu adalah 600 tahun dari era Yazdagirdi, atau seputar 2 abad setelah kemangkatan al-Khuyandi (lihat E.S. Kennedy, "A Surve 0f Islamic Astronomical Tables", sebuah survey perihal tabel-tabel astronomi islam, 1956).
Nama resmi ilmuwan asal Khuyand Transoxania ini adalah Abu Mahmud Hamid bin al-Khidr al-Khuyandi. ia hidup di masa pemerintahan Buwayhid Fakhr al-Dawla (366-387/976 - 997) dan wafat ditahun 390/1000 dengan mewariskan sejumlah karya ilmiah dibidang astronomi dan matematika, khususnya geometri.
Di antara begitu banyak karya matematikanya, yang pada umunya telah menguap entah ke mana, sebagian masih bisa dijumpai di Kairo yaitu dalam wujud manuskrip dari sebuah risala tentang geometri. Dan perhatian utamanya difokuskan khusus pada resolusi atau penguraian persamaan-persamaan berpangkat 3 dengan metode-metode geometri. Dari kekhusyuan mengkaji dan ketekunannya menelaah ia berhasil menciptakan satu rumusan atau dalil atau teorema yang berbunyi bahwa "jumlah dua bilangan berpangkat 3 tak akan membuahkan bilangan berpangkat 3 lainnya" (The sum of two cubed numbers cannot be another cube).
Kendati bunyi kalimat kedua teorema tersebut (versi Fermat dan versi Khuyandi) tampak berbeda namun jika dicermati baik-baik, apalagi kalau disertai dengan elaborasi intelektual yang memadai maka akan terasa adanya nuansa kemiripan. Atau mungkin, dengan kalimat yang bijaksana dapat dikatakan bahwa teori Fermat tersebut bukanlah gagasan murni Pierre De Fermat melainkan merupakan pengembangan berantai dari ide atau teorem al-Khuyandi yang telah berumur kurang lebih 1000 tahun itu. Atau paling tidak, Khuyandi memiliki saham utama bagi munculnya teka-teki teori Fermat. Perlu pula diingatkan bahwa dalil tersebut ditulis Fermat hanya dalam bentuk catatan-catatan lepas di tepi halaman bukunya. Lalu menyebutkan bahwa ia telah menemukan bukti-buktinya - namun tidak dituliskannya, dengan alasan kekurangan tempat di halaman buku tersbut.
Di samping teori itu, Khuyandi pun terbilang penemu "Kaidah Sinus" yang diistilakannya sebagai "Kaidah Astronomis".
Nasir al-Din al-Tusi dalam "kitan Shakl al-Katta", Istambul 1891 menegaskan bahwa Abu'l Wafa' al-Buzajani, Abu Nasr Mansur bin Ali bin Irak dan al-Khuyandi merupakan 3 serangkai penulis yang memiliki peran dan jasa besar dalam penemuan "Kaidah Sinus", (atau "Kaidah Astronomis" (Kanun al-Hay'a menurut istilah Khuyandi, lantaran kerapnya digunakan dalam astronomi)). Meskipun demikian, P.Luckey dalam salah satu bukunya, pada prinsipnya menolak pera al-Khuyandi dengan alasan bahwa ia adalah "intelektual lapangan". Kendati karyanya merupakan karya-karya unggulan yang menghentak emosi namun dia lebih sibuk bergerak di ladang astronomis praktis.
Terdapat tak terhingga banyaknya bilangan bulat tidak nol x, y, z yang memenuhi persamaan x2+y2 = z2. Tetapi, bagaimana dengan persamaan x3 + y3 = z3 atau, lebih umum lagi, xn + yn = zn dimana n adalah suatu bilangan bulat yang lebih besar daripada 2 dan x, y, z adalah bilangan bulat tidak nol? Tidak seorang pun yang sudah menemukan solusi tunggal dari persamaan ini dan tidak seorang pun yang mungkin akan menemukannya. Usaha luar biasa yang diusahakan oleh tokoh-tokoh seperti Euler, Legendre, Habel, Gauss, Dirichlet, Cauchy, Kummer, Kronecker, dan Hilbert untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi yang memenuhinya sudah sangat mempengaruhi pengembangan dari teori ring (gelanggang).
Sekitar ribuan tahun yang lalu, ahli matematik Arab salah memberikan bukti bahwa tiada solusi untuk n = 3. Masalah tersebut menghilang sampai tahun 1637, saat ahli matematik Prancis bernama Pierre de Fermat (1601-1665) menulis dalam garis tepi bukunya, “…adalah tidak mungkin memisahkan suatu pangkat tiga ke dalam dua buah pangkat tiga, suatu pangkat empat ke dalam dua buah pangkat empat, atau, secara umum, sebarang pangkat di atas dua ke dalam dua buah pangkat dengan derajat yang sama: Saya sudah menemukan suatu pengungkapan yang bagus sekali [dari teorema umum ini] yang mana garis tepi ini terlalu sempit untuk memuatnya.”
Karena Fermat memberikannya tanpa bukti, banyak ahli matematik sudah mencoba untuk membuktikan hasilnya. Kasus untuk n = 3 dikerjakan oleh Euler pada tahun 1770, meski buktinya tidak lengkap. Kasus untuk n = 4 adalah mendasar dan dikerjakan oleh Fermat sendiri. Kasus n = 5 telah dikerjakan pada tahun 1825 oleh Dirichlet, dan oleh Legendre. Karena kebenaran kasus untuk bilangan bulat tertentu mengakibatkan kebenaran untuk semua perkalian dari bilangan bulat tersebut, kasus berikutnya menarik untuk n = 7. Kasus ini menentang usaha-usaha dari para ahli matematik terbaik sampai itu dikerjakan oleh Gabriel Lame pada tahun 1839. Pada tahun 1847, Lame membuat gempar dengan mengumumkan bahwa ia telah dengan sepenuhnya memecahkan masalah ini. Pendekatannya adalah memfaktorkan ekspresi xp + yP dimana p adalah bilangan prima ke dalam
(x+y) (x+αy) … (x+αp-1y)
dimana α adalah bilangan kompleks cos(2π/p) +i sin(2π/p). Dengan demikian, faktorisasinya mengambil tempat di dalam ring Z[α] = {ao + a1α + … +aP-1αp-1 | αi ϵ Z}. Tetapi Lame membuat kekeliruan dengan mengasumsikan bahwa dalam ring yang demikian, faktorisasi ke dalam produk dari irreducible adalah unik. Sebenarnya, tiga tahun sebelumnya, Ernst Eduard Kummer telah membuktikan bahwa ini bukan selalu kasusnya. Tak gentar oleh kegagalan dari faktorisasi unik, Kummer mulai mengembangkan suatu teori untuk “menyelamatkan” faktorisasi dengan menciptakan suatu jenis bilangan yang baru. Dalam beberapa minggu pengumuman Lame, Kummer telah menunjukkan bahwa Teorema Fermat adalah benar untuk semua bilangan prima dari suatu jenis yang khusus. Hal ini membuktikan bahwa teorema benar untuk semua eksponen kurang dari 100, baik bilangan prima maupun tidak, kecuali untuk 37, 59, 67, dan 74. Pekerjaan Kummer sudah memelopori pada teori dari ideal sebagaimana kita ketahui sekarang.
Selama berabad-abad banyak pembuktian yang telah diusulkan, tetapi tidak satupun yang dapat diterima di bawah penelitian yang cermat. Ahli teori bilangan yang terkenal, Edmund Laudau, menerima begitu banyak dari semua itu yang telah ia wujudkan yang dicetak dengan “Di halaman_____ , baris_______sampai (baris)_____ anda akan menemukan ada suatu kekeliruan.” Martin Gardner, kolumnis “Mathematical Games” dari terbitan Scientific American, telah mencetak kartu pos-kartu pos untuk menolak permintaan dari para pembaca yang memintanya untuk menguji bukti mereka.
Dibantu oleh komputer, para ahli matematik zaman ini sudah membuat penindaklanjutan yang luar biasa. Sekarang diketahui bahwa Teorema Fermat adalah benar untuk semua eksponen sampai dengan 150000 dan semua x sampai dengan 101800000. Representasi desimal untuk xn di dalam sebarang perhitungan contoh akan mengisi sedikitnya sepuluh juta halaman tercetak! Penemuan-penemuan terbaru sudah mengikat Teorema Fermat untuk lekat pada teori-teori matematika yang modern, memberi harapan bahwa teori-teori tersebut pada akhirnya menjurus kepada suatu bukti. Pada bulan Maret 1988, koran-koran dan penerbitan ilmiah di seluruh dunia membawa berita dari bukti oleh Yoichi Miyaoka. Selama berminggu-minggu, optimisme berhati-hati tentang kebenaran itu telah mengarah ke pesimisme. Gugurnya bukti Miyaoka dengan indahnya diratapi oleh seorang penulis esai majalah Time. Tetapi sejarah dari Teorema Fermat adalah pengulangan dari pengembangan-pengembangan penting yang timbul dari usaha-usaha yang gagal.
Pada bulan Juni 1993, kegembiraan menyebar ke komunitas matematika dengan pengumuman bahwa Andrew Wiles dari Universitas Princeton telah membuktikan Teorema Terakhir Fermat. Ketua departemen Matematika Princeton berkata, “Ketika kita mendengarnya, orang-orang mulai berjalan di udara.” Tetapi sekali lagi suatu bukti tidak dipenuhi di bawah penelitian yang cermat. Kisah ini mempunyai akhiran yang bahagia. Suatu bukti yang ditinjau kembali pada bulan September 1994 sudah diterima sebagai valid oleh komunitas matematika.
Mengingat fakta bahwa begitu banyak para ahli matematik terkenal yang tidak mampu untuk membuktikan Teorema Fermat, meskipun ketersediaan teori-teori yang canggih telah dikembangkan, kelihatannya Fermat sangat mungkin tidak mempunyai suatu bukti yang benar. Hampir bisa dipastikan, ia membuat kesalahan bahwa para penggantinya dibuat mengira bahwa sifat dari bilangan bulat, seperti faktorisasi yang unik, memindahkannya kepada domain integral secara umum.
Fermat's last Theorem itu..
Jika maka
tidak ada solusi yang memenuhi persamaan
Banyak yang mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan
dalam apendik suatu buku teks.
Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan
segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat
tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai
bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik.
Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3)
maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari
Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus. Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan
Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville.
Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4.
(yang dibuktikan oleh Gauss).
browsing mencari referensi tentang Teori Fermat dan menyasar sampai di sini. Terima kasih atas artikelnya. Salam.
BalasHapusMaaf kak, ada artikel studi kasus di lapangan mengenai implementasi Teorema fermat ga?
BalasHapus