Pangkat dan Akar

Materi : Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Kelas : IX SMP (Semester II)

Dengan bahasan, antara lain :
>> Pangkat Sebenarnya  (pangkat bilangan bulat positif)
>> Pangkat Tak Sebenarnya  (pangkat bilangan bulat negatif, pangkat nol, pangkat pecahan).
>> Bentuk Akar



# PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari2, perhitungan bilangan berpangkat banyak digunakan. Contohnya, jarak antara bumi dan matahari adalah sekitar 100.000.000 km. Dan jarak ini bisa kita jadikan bentuk baku bilangan berpangkat menjadi 10^(8) km.
10^8 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
10 = sebagai bilangan pokok (basis), dan
8 = sebagai bilangan pangkat (eksponen)

Yuk sebelum lanjut, coba pemanasan dulu ..
jawab soalnya ya untuk mengingat-ingat :D


1. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut.
a. 5^3 – 2^2 + (–3)^2
b. 8^2 – 1^3 – (–2)^3

2. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
a. 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4
b. 8 × 32

3. Berpikir kritis. Misalkan kamu melakukan perpangkatan suatu bilangan dari pangkat negatif ke pangkat positif. Kapan diperoleh hasil yang negatif? Kapan hasilnya positif?

4. Teori Bilangan.  Faktorisasi prima dari 360 bilangan adalah 2, 2, 2, 3, 3, dan 5. Tuliskan faktorisasi prima 360 dalam bentuk eksponen (pangkat).

5. Tentukan nilai bentuk eksponen (pangkat), bila x = – 2, y = 3, z = – 1,dan w = 0,5
a. 3(y^3 + z)
b. 3w x^3 y


******************
Pangkat Sebenarnya

1. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat
* Bilangan Rasional
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b # 0 Dan a, b bilangan bulat.
Contohnya : 2/3 , 1/5, -3/4 , dll.

* Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif
Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka perkalian berulang n faktor dari a ialah = a x a x a x a x a x …. (sebanyak n) = a^n

* Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
a) Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka a^m × a^n = a^(m+n)
Contoh : 3^2 x 3^3 = 3^(2+3) = 3^5 = 243

b) Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positif maka (a^m)/(a^n) =
a^(m-n) dengan m > n.
Contoh : (3^5)/(3^2) = 3^(5-2) = 3^3 = 27

c) Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka (a^m)^n
= a^(m×n) = a^(n×m)
Contoh : (2^3)^2 = 2^(3x2) = 2^6 = 64

d) Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian
Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a × b)^n = a^n × b^n
Contoh : (2x3)^2 = 2^2 x 3^2 = 4 x 9 = 36

e) Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian
Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat positif maka (a/b)^n = (a^n)/(b^n)
Contoh : (2/3)^2 = (2^2)/(3^2) = 4/9

f) Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka p.a^n + q.a^m = a^n(p + qa^(m–n))
dan
Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka p.a^n – q.a^m = a^n(p – q.a^(m – n)) dan p.a^m – q.a^n = a^n(p.a^(m – n) – q)
Contoh : 3 x 7^2 + 2 x 7^3 = 7^2 (3 + 2 x 7) = 7^2 (17) = 49 x 17 = 833

Latihan Soal ! :D

1. (3^5 x 3^3)/3^2 = ?
2. (2^3 x 3^2)^2 = ?
3. (2/3)^2 x (3/2)^-1 = ?
4. 3. 2^5 + 4. 2^2 + 5.2 = ?

*****************
Pangkat Tak Sebenarnya

* Pangkat Bilangan Bulat Negatif
Ex : a^5 / a^2 = (axaxaxaxa)/(axa) = 1/(axaxa) = 1/a^3

Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka a–n = (1/a)^n

Contoh :
2^2 x 2^-4 = 2^(2+(-4)) = 2^-2 = 1/(2^2)
(3^2)/(3^5) = 3^(2-5) = 3^-3 = 1/(3^3) = 1/27

* Pangkat Nol
Ex : a^3 / a^3 = (axaxa)/(axaxa) = 1
a^0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0         

* Pangkat Pecahan
- p^(1/n) adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan nVp = p^(1/n)
- p^(1/n) disebut bilangan berpangkat pecahan.
- Sifat-sifat bilangan berpangkat pecahan :
a. [p^(1/m)]^(1/m) = p^(1/mn)
b. p^(m/n) = p^(m x 1/n) =( p^m)^(1/n) = n’V(p^m)
c. p^(m/n) = p^(1/n x m) = [p^(1/n)]^m = (n’Vp)^m
maka :
d. p^(m/n) = n’V(p^m) = (n’Vp)^m
Contoh :
2^(5/3) = 3’V(2^5) = 3’V(32) = 3’V(8 x 4) = 2 (3’V4)

Latihan Soal ! :D
1. Nyatakan bilangan berikut dalam pangkat positif
a. 3 . 4’V(5^-3)
b. a^(-1/2) . b^3
c. [c^(1/3)]/[a^(3/2) . b^(-2) . c]
2. Tentukan hasil perpangkatan bilangan berikut ini.
a. (5 a^0 b^0)/a
b. [(2p^3)^-2]/(p^-2 p^3)

********************
# BENTUK KAR

2’Va = a dengan a bilangan real positif.
Contoh : 2V16 = V(4^2) = 4

* Sifat-Sifat Akar

Sifat-sifat perkalian akar
V(ab) = Va x Vb
Contoh :
V24 = V(4x6) = V(2^2) x V6 = 2V6

Sifat-sifat pembagian akar
V(a/b) = (Va/Vb) , dengan a >= 0 dan b > 0
Contoh :
V(5/9) = (V5/V9) = V5/3

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan
aVc +- bVc = Vc (a+-b)
dengan a, b, c bilangan real dan c >= 0
Contoh : 2V3 + 3V3 = V3 (2+3) = 5V3

Sifat-sifat perkalian
pVa x qVb = pq Vab
Contoh :2V3 x 2V2 = 2x2 V 3x2 = 4V6

Sifat-sifat pembagian
pVa / qVb = p/q (Va/Vb)
Contoh : 2/V2 / 4V3 = 2/4 (V2/V3) = 1/2 (V2/V3)

* Bentuk Rasional Akar
Mengalikan penyebut dengan akar sekawannya.

1. a/Vb
akar sekawan Vb adalah Vb
a/Vb x (Vb/Vb) = (aVb)/b = a/b Vb
Contoh :
2/V3 = 2/V3 x (V3/V3) = 2V3/3 = 2/3 V3

2. c/(a +-  Vb)
akar sekawan (a+Vb) adalah (a-Vb)
c/(a + Vb) x (a - Vb)/(a - Vb) = c (a – Vb)/(a^2 –b)

akar sekawan (a-Vb) adalah (a+Vb)
c/(a – Vb) x (a + Vb)/(a + Vb) = c (a + Vb)/ (a^2 – b)

Contoh :
 3/(3 + V6) = 3/(3+V6) x (3-V6)/(3-V6) = 3(3+V6)/(9-6) = 3(3+V6)/3 = 3+V6

3. c/(Va +- Vb)
akar sekawan (Va+Vb) adalah (Va-Vb)
c/(Va+Vb) x (Va-Vb)/(Va-Vb) = c(Va-Vb)/(a-b)

akar sekawan (Va-Vb) adalah (Va+Vb)
c/(Va-Vb) x (Va+Vb)/(Va+Vb) = c(Va+Vb)/(a-b)

Contoh :
8/(V5–V2) = 8/(V5-V2) x (V5+V2)/(V5+V2) = 8(V5+V2)/(5-2) = 8(V5+V2)/3 = 8/3(V5+V2)