Induksi Matematika

• Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan
• Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu
• Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A   S(n) dengan A Ì N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.
• S(n) adalah fungsi propositional

TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

• Basis Step                       : Tunjukkan bahwa S(1) benar
• Inductive Step                  : Sumsikan S(k) benar

  Akan dibuktikan  S(k) ® S(k+1) benar

• Conclusion                       : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

  positif


PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA
Contoh 1 :
Buktikan bahwa :
1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)
untuk setiap n bilangan integer positif





Jawab :
q       Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
      1 = ½ 1 . (1+1) ® 1 = 1

q       Induksi : misalkan untuk n = k  asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)
q       adib. Untuk n = k+1 berlaku
1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :
q       1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2


k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

q       Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1)
Untuk setiap bilanga bulat positif n

Contoh 2 : 
Buktikan bahwa :
1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2
untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :
q       Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
      1 = 12 ® 1 = 1

q       Induksi : misalkan untuk n = k   asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2
q       adib. Untuk n = k + 1 berlaku
1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2


                        k 2 + (2K + 1)             = (k + 1)2
                        k 2 + 2K + 1                = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n + (2n - 1) = n2
Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 :
Buktikan bahwa :
N 3 + 2n adalah kelipatan 3
untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :
q       Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
      1 = 13 + 2(1)  ® 1 = 3 , kelipatan 3

q       Induksi : misalkan untuk n = k  asumsikan k 3 + 2k  = 3x
q       adib. Untuk n = k + 1 berlaku
(k + 1)3  + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
            Induksi
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3
Untuk setiap bilangan bulat positif n

Semoga bermanfaat....