Kamis, 28 Juni 2012

Gradien dan Persamaan Garis Lurus


Materi : Gradien dan Persamaan Garis Lurus
Kelas : VIII SMP

1. Gradien

- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.
- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)
- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :
by = -ax – c
y = -a/bx – c/b
m(gradient) = -a/b


contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0
4y = -2x-5
y = -2/4 x - 5/4
 maka m = -2/4 = -1/2 
cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :
a) Gradien bernilai positif 
Bila m (+)  contoh : 6x - 2 y – 9 = 0
m = - (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative
Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0
m = - (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat
Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x
contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :
m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)
sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1) 
contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Hubungan 2 garis lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l 
contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6
m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus
garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2


2. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y - y1 = m (x - x1)


Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.
jawab :

Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y - y1 = m ( x - x1 )
y - 4 = -2 {x - (-3)}
y - 4 = -2 (x + 3 )
y - 4 = -2 x - 6
y = -2x - 6 + 4
y = -2x - 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)
jawab :

Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6 , y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y - y1 = m ( x - x1 )
y - 2 = -1 (x - 6)
y - 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),
yaitu y - y1 = m ( x - x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y - y1 = m ( x - x1 )
y - y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x - x1)
(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) 
jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y - y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y - 4) = 4(x - 3)
2y - 8 = 4x - 12
2y - 4x = 8 - 12
2y - 4x = -4
y - 2x = -2

>> Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x - 5

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar) 
maka :
y - y1 = m (x-x1)
y - 3 = 2 (x-2)
y = 2x-4+3
y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x - 5

jawab : y = 2x - 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :
y - y1 = m (x-x1)
y - 3 = -1/2 (x-2)
y = -1/2 x + 1 + 3
y = -1/2 x + 4
kali 2
2y = -x + 4
2y + x - 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing" merupakan kelipatan dari a, b, c..

>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0

4) Persamaan garis yang berpotongan

dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

>> Tentukan hubungan garis h1 = 6x - 3y - 5 dengan garis h2 = 3x + 4y + 6 !

#10^^ Utari

6 komentar:

  1. bagus.membantu saya dlm mngajar
    .. thanks y.


    BalasHapus
    Balasan
    1. iya, sama-sama ibu :)
      join juga ke page kami https://www.facebook.com/pages/Indonesia-Mathematic-ClubIMC/186419934706123 ^^ semoga bermanfaat

      Hapus
  2. sekalian gambarnya dong ses,,,gambar gaaris yang sejajar. tulung yoo .tankss .sangat sangat bembantu. slam sukses

    BalasHapus
  3. yang menemukan gradien siapa kk

    BalasHapus
  4. Thanks ya!! Sekarang jadi O,,,, Thanks

    BalasHapus