Materi Modulo

Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).

_____Ada istilah “kongruen modulo”. Apa itu? Itu jika sisanya sama. Misalnya: 100 mod 9 = 1 dan 91 mod 9 = 1, maka dapat dikatakan bahwa 100 dan 91 itu kongruen modulo 9.

_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!

======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang
a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32
Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo
(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Soal 5 : Berapakah sisa (1992+1993+1994+…+ 1999) dibagi 2000?
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______= (-36)mod 2000 = (( -1)*2000+1964)mod 2000 = 1964 mod 2000 = 1964
Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.
(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn2 +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod n dan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4
Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!
ab mod n = ((a mod n)b)mod n , b adalah bil.bulat

Soal 8: Berapakah sisa 31000 dibagi 4?
Jawab: 31000 mod 4 = ((1*4-1)1000)) mod 4 = 1 mod 4 =1

Soal 9:Berapakah sisa jika 32009 jika dibagi 41?
Jawab: (32009) mod 41 = (91004*3) mod 41 = (81502*3) mod 41 = ((41*2-1)502*3)mod 41
______= ((-1)502*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3

Soal 10: Apakah 5454 + 5555 + 5656 habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)

Jawab: (5454+5555+5656)mod 7
_____= (5454mod 7+ 5555 mod 7+ 5656 mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)54mod 7+ (8*7-1)55 mod 7+ (8*7+0)56 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ (-1)55 mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ 6)mod 7
_____= (2527mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)27mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)3*9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((64)9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((7*9+1)9mod 7+ 6)mod 7
_____= (19mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7.
(Thx for ac for the correction.. ^^)
Penyelesaian modulo dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya no.8, dapat dijawab dengan cara lain: 31000 mod 4 = 9500 mod 4 = (2*4+1)500 mod 4 = 1500 mod 4 = 1 mod 4 = 1.

======================================================================
Bentuk Lain
Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:
Contoh:
yang artinya akan sama seperti bentuk yang kita pelajari sebelumnya, yaitu:

Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================