Fakta Tentang 0 dan 1

*0 merupakan bilangan cacah pertama
*1 merupakan bilangan asli pertama
*0 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit
*1 bukan merupakan bilangan prima dan juga bukan merupakan bilangan komposit

*0 adalah identitas penjumlahan. Karena 0+a=a untuk setiap a bilangan real
*1 adalah identitas perkalian. Karena 1 \times b=b untuk setiap b bilangan real
*Pada basis biner sampai heksadesimal, 0 akan sama dengan 0 pada basis tersebut
(0)_2, (0)_3, (0)_4, (0)_5, (0)_6, (0)_7, (0)_8, (0)_9, \dots, (0)_16
*Pada basis biner sampai heksadesimal, 1 akan sama dengan 1 pada basis tersebut
(1)_2, (1)_3, (1)_4, (1)_5, (1)_6, (1)_7, (1)_8, (1)_9, \dots, (1)_16
*Nilai faktorial yang sama hanya dimiliki 0 dan 1, yaitu 0!=1!=1
*Perkalian dengan 0 pasti menghasilkan 0. 0 \times 23=0
*Pembagian dengan 1 pasti menghasilkan bilangan yang tetap. 23/1=23
*Untuk sebarang a bilangan real, maka a/a=1 kecuali a=0
*0+0=0, 0-0=0, 0 \times 0=0. Tetapi 0/0= \,tidak \, didefinisikan
*1-1=0, 1 \times 1=1, 1/1=1. Tetapi 1+1=2
*0+1=1 dan 0 \times 1=0
*Pembagian dengan nol itu tidak didefinisikan.
*Pembagian dengan 1 menghasilkan bilangan semula.
*Sebarang bilangan tak nol, jika dipangkatkan 0 maka akan sama dengan 1.
*Sebarang bilangan, jika dipangkatkan 1 maka akan sama dengan bilangan itu sendiri.
*0^0 itu tidak didefinisikan. Sedangkan 1^1=1
*0 \times 0=0, 0 \times 0 \times 0=0, 0 \times 0 \times 0 \times 0=0, \dots
*1 \times 1=1, 1 \times 1 \times 1=1, 1 \times 1 \times 1 \times 1=1, \dots


Nol


Penulisan suatu bilangan dengan nol di depan itu tidak lazim. Begitu juga pada desimal, penulisan nol di belakang itu juga tidak lazim.
Misalnya : 0000000123 (cukup ditulis 123). 12,4500 (cukup ditulis 12,45)
Sedangkan penulisan angka nol di tengah itu wajib (tidak boleh dihilangkan). Misalnya 1002 (tidak sama dengan 12 atau 102). Begitu juga pada desimal 10,03 (tidak sama dengan 10,3 atau 1,3 atau 1,03)
Angka nol terdapat pada sebarang bilangan dengan sifat penjumlahan atau pengurangan. Misalnya 5. Sama dengan 5+0. Atau bisa juga dituliskan 5-0. Biasanya bentuk-bentuk ini digunakan untuk memanipulasi.


Satu


Angka 1 ada pada sebarang bilangan dengan sifat perkalian dan pembagian. Misalnya 45. Sama dengan 45 \times 1 atau 45/1. Selain itu juga terdapat perpangkatan. 45^1


Banyak sekali konjekture mengenai angka 1.
Barisan Aliquot
Apa itu barisan aliquot? Perhatikan contoh berikut :
10 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 5. Jika dijumlah hasilnya 8.
8 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2 dan 4. Jika dijumlah hasilnya 7.
7 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1. Jika dijumlah hasilnya 1.
Barisannya yaitu [10, 8, 7, 1]


Apa selalu berujung di 1?


Tidak. karena untuk suatu bilangan sempurna akan selalu kembali ke dirinya. Misalnya 28,
28 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Jika dijumlah hasilnya 28.


Ada juga yang berputar (looping). Yaitu terdapat pada bilangan yang bersahabat. Misalnya 284,
284 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 71 dan 142. Jika dijumlah hasilnya 220.
220 mempunyai faktor-faktor (tanpa dirinya sendiri) adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110. Jika dijumlah hasilnya 284.


Konjekture mengatakan bahwa barisan aliquot tidak akan menuju ke tak hingga.


Banyak sekali yang telah dibuktikan dan menuju ke 1. Meskipun juga cukup banyak yang berputar (looping). Seperti yang pernah ditunjukkan D. N. Lehmer. Dia menunjukkan bahwa 138 menuju ke 1 setelah proses 177 langkah. Bayangkan, banyak sekali langkah yang telah ia lakukan.


Konjektur pada abad ke–19
Sebarang bilangan asli yang dioperasikan dengan syarat-syarat seperti di bawah ini dan dilakukan secara terus menerus, maka hasil akhirnya adalah 1. Syarat-syaratnya yaitu

Jika bilangan itu genap, maka bilangan itu dibagi 2
Jika bilangan itu ganjil, maka bilangan itu dikali 3 kemudian ditambah 1
Misalnya kita pilih bilangan 23.


Bilangan awal Proses Hasil
23 23∙3+1 70
70 70/2 35
35 35∙3+1 106
106 106/2 53
53 53∙3+1 160
160 160/2 80
80 80/2 40
40 40/2 20
20 20/2 10
10 10/2 5
5 5∙3+1 16
16 16/2 8
8 8/2 4
4 4/2 2
2 2/2 1




Jika kita lakukan secara terus menerus, maka tetap akan berakhir pada angka 1. Karena 1 adalah angka ganjil. Masuk ke dalam syarat bilangan ganjil yaitu dikali dengan 3 dan ditambah 1. Menghasilkan angka 4 yang apabila dilakukan langkah sesuai syarat maka hasil akhirnya akan kembali pada angka 1.


1 1∙3+1 4
4 4/2 2
2 2/2 1


Hasil akhir dalam bentuk seperti ini selalu berakhiran 1. Dengan menggunakan komputer yang sudah canggih saat ini, bilangan asli yang sudah memenuhi proses tersebut (selalu berakhiran pada angka 1) adalah sampai pada angka 10^{18-1} (pada buku Math charmers : tantalizing tidbits for the mind / Alfred S. Posamentier ; foreword by Herbert A. Hauptman)


Tentang 0 dan 1 yang lain


*Kebanyakan pasangan amicable berakhiran 0 (atau 5). Tidak tahu mengapa.
*0 bukan bilangan positif dan juga bukan bilangan negatif.
*0 bukan bilangan komposit.
*KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari 0 dan 0 adalah 0
*FPB (Faktor persekutuan Terbesar) dari 0 dan 0 adalah “tidak ada”
*Ada tak hingga bilangan real diantara 0 dan 1
*1=0,99999999999999999999999…