Logika Matematika

Materi : Logika Matematika
Kelas : X SMA Semester 2


A. Pengertian Logika dan Pernyataan

Logika : Suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid) dan yang tidak sahih.
Dalam logika matematika terdapat kalimat-kalimat diantaranya :

1. Kalimat pernyataan (proposisi)
Kalimat yang mengandung pengertian dan mempunyai nilai kebenaran “benar “ atau “salah” (tidak keduanya).
Contoh : 
- Bandung adalah ibukota Jawa Barat (pernyataan bernilai benar)
- Monas terletak di Bogor (pernyataan bernilai salah)

2. Kalimat bukan pernyataan (non proposisi)
Kalimat yang mengandung pengertian, namun tidak mempunyai nilai kebenaran “benar “ maupun “salah”.
Berupa kalimat tanya, seru, perintah, harapan, kalimat terbuka.
Contoh :
- Siapa namamu?
- Tutup pintu itu!
- dll
3. Kalimat non formal (factual)
Kalimat yang mengandung pengertian dan mempunyai nilai kebenaran. Hanya saja nilai kebenarannnya tidak tentu (belum tentu benar salahnya).
Contoh :
“Ayah pergi ke Jakarta”
- jika benar ayah pergi ke Jakarta maka nilai kebenarannya “Benar”
- jika ayah ternyata pergi ke Bogor maka nilai kebenarannya “Salah”(memerlukan observasi lebih lanjut)

4. Kalimat Terbuka
Kalimat yang memuat variabel (peubah), sehingga belum diketahui benar salahnya. Dan kalimat terbuka dapat berubah menjadi kalimat pernyataan bila variabel (peubahnya) diganti dengan konstanta.
Contoh :
x – 2 = 5 (x adalah variabel)
Jika x diganti dengan 7, maka pernyataan 7-2 = 5 bernilai benar dan 7 disebut dengan konstanta.
Latihan soal! :D
1. Tentukan jenis kalimat ini, dan tentukan nilai kebenarannya.a. Susi lulus Ujian Nasionalb. 3 + 4 = 7c. x^2 – 9 = 0d. Dimana rumahmu?e. Ada 24 jam dalam sehari
2. Tentukan konstanta yang harus digantikan sehingga kalimat terbuka berikut bernilai benar.a. 3x-1 = 3+xb. V(2x-1) < 3c. 2x^2 – 3 + 1 >= 0

**************

B. Perangkai Logika

Proposisi Majemuk adalah proposisi yang memuat proposisi lain sebagai bagiannya, dan pada umumnya dihubungkan oleh perangkai (kata hubung) logika.
Dalam operasi pada pernyataan dikenal :
* Operasi uner , operasi yang bekerja pada sebuah pernyataan.
missal : negasi atau ingkaran
* Operasi biner, operasi yang mengkomposisikan beberapa pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.
Missal : konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1. Negasi / Ingkaran
Missal p adalah suatu pernyataan. Maka negasi adalah berupa penyangkalan atau ingkaran dari p yang disimbolkan dengan tanda (~p) atau p “topi”. Yang berarti bukan / tidak p

note : 
- Negasi dari semua atau setiap adalah ada atau ada beberapa
- Negasi dari ada atau beberapa adalah semua atau setiap.

Contoh :
1. p = beberapa pilot adalah wanita.
~p = semua pilot adalah laki-laki.
2. q = terdapat x E A sehingga x <= 5
~q = untuk semua x E A berlaku x > 5

Latihan ! :D
1. Tentukan ingkarannya!
a. r = setiap bilangan genap habis dibagi 2
b. s = segitiga lancip adalah segitiga yg salah satu sudutnya kurang dari atau sama dengan 90’
c. t = semua orang yang beragama islam bukan hajid.
d. u = jumlah akar persamaan kuadrat 2x^2 – 8x + 21 = 0 adalah 4

2. Konjungsi (Penyertaan)
Konjungsi adalah bentuk proposisi majemuk yang tersusun dari proposisi-proposisi yg menggunakan kata hubung “DAN”. Konjungsi dari proposisi p dan q ditulis p ^ q
Contoh :p : Ali Kayaq : Ali pandaip ^ q : Ali kaya dan pandai

- selain “DAN” juga kata : meskipun, tetapi, sedangkan, sambil, juga, yang , walaupun, dll
- konjungsi bernilai benar bila kedua proposisi bernilai benar.
Tabel Kebenaran :
p = B – B – S – S 
q = B – S – B – S 
p^q = B – S – S – S 

3. Disjungsi 
Disjungsi adalah bentuk proposisi majemuk yang tersusun dari proposisi-proposisi yg menggunakan kata hubung “ATAU”. Konjungsi dari proposisi p dan q ditulis p v q

Contoh :
P : Ali Kaya
q : Ali pandai
p V q : Ali kaya atau pandai

- disjungsi hanya akan berniali salah jika kedua proposisi salah

Tabel Kebenaran :
p = B – B – S – S 
q = B – S – B – S 
p^q = B – B – B – S 

Latihan ! :D
P = bilangan genap habis dibagi 2
Q = 3 faktor dari 10
R = 8-2 = 6

Tuliskan pernyataan” berikut dan tentukan nilai kebenarannya
1. P ^ (q ^ r)
2. (P V q) ^ r
3. (P^q)v~ r
4. (p^q) v (~p V ~r)
5. P v (~q ^ r)


4. Implikasi 
Menggunakan kata hubung “MAKA”Implikasi dari dua proposisi p dan q ditulis p -> q “Jika p maka q”
P = anteseden (sebab)
Q = konsekuen (akibat)

Tabel Kebenaran :
p = B – B – S – S 
q = B – S – B – S 
p => q = B – S – B – B

contoh :
p = 8 bilangan ganjil (S)
q = 8 habis dibagi 2 (B)
p=> q = jika 8 bilangan ganjil maka 8 habis dibagi 2 (B)
q => p = jika 8 habis dibagi 2 maka 8 bilangan ganjil (S)
~p=> q = jika 8 bilangan genap maka 8 habis dibagi 2 (B) 
#Implikasi Logis
p(x) => q(x) disebut implikasi logis, bila untuk setiap nilai x yg menjadikan p(x) benar akan menjadikan kalimat q(x) benar pula.
Himpunan penyelesaian dari p(x) merupakan bagian dari himpunan penyelesaian q(x).

Contoh :
1. Jika n bilangan ganjil maka n+1 bilangan genap. (Implikasi logis)
2. Jika n^2 = 9 maka n = 3 , bukan implikasi logis
3. Jika n = 3 maka n^2 = 9 (implikasi logis)

# Implikasi dapat diturunkan menjadi bentuk proposisi “INVERS, KONVERS, dan KONTRAPOSISI”

a. Invers dari p=>q adalah ~p => ~q
b. Konvers dari p=>q adalah q => p
c. Kontraposisi p=> q adalah ~q => ~p 
Tabel Kebenaran :
p = B – B – S – S 
q = B – S – B – S 
~p = S- S- B – B
~q = S – B – S - B
p => q = B – S – B – B (imply)
~q=>~p = B – S – B – B (kontraposisi)
q=>p = B – B- S – B (konvers)
~p=>~q = B – B- S- B (invers)

Maka dapat diketahui ::
Implikasi ekuivalen Kontraposisi
Invers ekuivalen Konvers

Contoh :
“Apabila Siti lapar maka ia makan”
Invers : Apabila Siti tidak lapar maka ia tidak makan
Konvers : Apabila Siti makan maka ia lapar
Kontraposisi : Apabila Siti tidak makan maka ia tidak lapar

Latihan! :D
1. Tentukan nilai kebenarannya!
a. P : (-2)^3 = 8
Q : Indonesia adalah negara kepulauan
Implikasi p=>q ?
b. Jika 9 bilangan ganjil, maka 9 bilangan prima
c. Jika Paris ibukota jepang, maka Tokyo ibukota Perancis
d. (~qvp)=>(~q=>p)e. (p^(p=>q))=>q 
2. Manakah yang implikasi logis? Jelaskan!
a. Jika x > 3 maka x^2 > 9
b. Jika x^2+5 = x+7 , maka x=-1
c. Jika sinx = ½ maka x = 1/6 pi

3. Buatlah konvers, invers dan kontraposisinya!
a. Jika Ali kuliah di ITB, maka ia kuliah di Bandung
b. Jika semua siswa naik kelas, maka guru senang

5) Biimplikasi (Persyaratan Rangkap)
Biimplikasi adalah bentuk kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung “JIKA DAN HANYA JIKA”
Disimbolkan dengan p <=> q dibaca :
- p jika dan hanya jika q
- jika p maka q dan jika q maka p
- p syarat cukup dan syarat cukup untuk q
- q syarat perlu dan syarat cukup untuk p

Dan ekuivalen dengan (p=>q) ^ (q=>p)
Tabel Kebenaran :
p = B – B – S – S 
q = B – S – B – S 
p <=> q = B – S – S – B

Latihan !
1. Tentukan nilai –nilai x agar kalimat “ 4^x = 2V2 jika dan hanya jika 2’log1 = 0 “ menjadi biimplikasi yang benar
2. Tentukan z agar “ 2 x+3 = 3 <=> 5 adalah bilangan prima bernilai salah.

Semoga bermanfaat (^_^") ..ayo dijawab juga soal-soalnya