Logaritma

Logaritma
----------------------------------------------------------
Logaritma merupakan invers/kebalikan dari eksponen dan disimbolkan dengan log..
Misalkan, kita tau 2^3 = 8, maka 3 = 2'log8
3^4 = 81, maka 4 = 3'log81
10^3 = 1000, maka 3 = 10'log1000
Sehingga, logaritma bisa kita rumuskan,
jika a'log(b) = c, maka b = a^c

Pada a'log(b) = c
-> a disebut basis
-> b disebut bilangan yang dilogaritma
-> c disebut hasil logaritma

Inilah konsep dasar logaritma.. :)

 

Untuk mempermudah mengingatnya, kata "log" bisa dibaca dengan "pangkat berapa yang samadengan..."

Contoh:
2'log8 -> 2 pangkat berapa yang sama dengan 8 ? 3
3'log243 -> 3 pangkat berapa yang sama dengan 243 ? 5
5'log25 -> 5 pangkat berapa yang sama dengan 25 ? 2

Oke, kalo udah paham, coba ini dulu ya..:D

1. Jika 3'log(z) = 4, maka z = ...
2. Jika 2'logx = 5 , maka x = ...
3. 2'log16 = ...
4. 9'log729 = ...
5. 6'log1 = ...
6. 12'log 1 = ...
7. 5'log(1/125) = ...
8. 2'log(1/64) = ...
9. 10'log100 + 10'log1000 = ...
10. 2'log4 + 2'log8 + 2'log16 = ...
11. 3'log243 - 3'log27 = ...
12. 7'log49 - 7'log1 = ...

Pembahasan :

1. z = 3^4 = 81
2. x = 2^5 = 32
3. 4
4. 3
5. 0
6. 0
7. -3
8. -6
9. 2 + 3 = 5
10. 2 + 3 + 4 = 9
11. 5 - 3 = 2
12. 2 - 1 = 1


Di soal no.3 dan 4, kita tau bahwa..
2'log16 = 4 = 2'log(2^4)
9'log729 = 3 = 9'log(9^3)
Sehingga dapat kita simpulkan :
a'log(a^n) = n
Coba buktikan ! (Hint : Pembuktiannya dari eksponen)
Bukti:
Dengan a'log a=1, maka
a'log (a^n)=a'log(axaxax...xa){sebanyak n faktor}
=a'log a+a'log a+a'log a+...+a'log a {penjumlahan sebanyak n faktor}
=n. a'log a
=n.1
= n.
Jadi, terbukti bahwaa'log(a^n)=n

Kita tau bahwa di soal nomor 5 dan 6..
6'log1 = 0
12'log1 = 0
Dari sini, kita bisa simpulkan bahwa a'log1 = 0 untuk semua bil real a.
Buktikan !
a'log1 = 0 artinya a^0 = 1
Pembuktian
a^0 = a^1 x a^-1 = a x 1/a = 1
a'log 1 = 0 berlaku utk setiap bil.real a kecuali 0 karena 0^0 tak terdefinisi

Dari soal no.7 dan 8 kita tau bahwa..
5'log(1/125) = -3 = 5'log(1/5^3)
2'log(1/64) = -6 = 2'log(1/2^6)
Dari sini, kita dapat :
5'log(1/5^3) = -3
2'log(1/2^6) = -6
Sehingga kesimpulannya :
a'log(1/a^n) = -n
Buktikan !
a'log(1/a^n) = -n
= a'log1 - a'loga^n
= 0- n. a'log a
= 0-n
= -n

Dari soal no.9 dan 10 kita tau bahwa..
10'log100 + 10'log1000 = 5 = 10'log(100000) = 10'log(100.10000)
2'log4 + 2'log8 + 2'log16 = 9 = 2'log(512) = 2'log(4.8.16)
Dari sini kita dapat :
10'log100 + 10'log1000 = 10'log(100.10000)
2'log4 + 2'log8 + 2'log16 = 2'log(4.8.16)
Sehingga kesimpulannya :
a'log(b) + a'log(c) = a'log(b.c)
Buktikan !
misal :
a'log(b) = m
a'log(c) = n 
bc = (a^n)(a^m)
bc = a^(m+n)
a'log(bc) = m + n 
a'log (bc) = a'log(b) + a'log(c)

Oiya, untuk basis 10 dalam logaritma biasanya tidak perlu dituliskan basisnya.. :)
10'log(x) = log(x)
Oke lanjut, ^_^

Dari soal no.11 dan 12 kita tau bahwa..
3'log243 - 3'log27 = 2 = 3'log9 = 3'log(243/27)
7'log49 - 7'log1 = 1 = 7'log7 = 7'log(49/7)
Dari sini kita dapat :
3'log243 - 3'log27 = 3'log(243/27)
7'log49 - 7'log1 = 7'log(49/1)
Sehingga kesimpulannya :
a'log(b) - a'log(c) = a'log(b/c)
Buktikan !
misal :
a'log(b) = m
a'log(c) = n
b/c = (a^n)/(a^m)
b/c = a^(m-n)
a'log(b/c) = m - n
a'log (b/c) = a'log(b) - a'log(c)

Oke, dari pembahasan-pembahasan tadi, kita punya beberapa sifat logaritma.. ^_^
1. a'log(a^n) = n
2. a'log1 = 0
3. a'log(1/a^n) = -n
4. a'log(b) + a'log(c) = a'log(b.c)
5. a'log(b) - a'log(c) = a'log(b/c)
6. 10'log(x) = log(x)

Dari sini, kita bisa menentukan sifat-sifat logaritma yang lain.. :)
Misal : Buktikan bahwa a'log(a) = 1 !
Maka kita tinggal ambil dari sifat pertama, a'log(a^n) = n..
Kita set n = 1, sehingga..
a'log(a) = 1 :)
Oke, sekarang buktikan bahwa a'log(b) = -(a'log(1/b)) !
-(a'log(1/b))
= -(a'log(b)^(-1))
= -(-1)a'log(b)
= a'log(b)

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa a'log(b^n) = n.(a'log(b)) !
a'log(b^n)
=a'log(bxbxbx...xb) {perkalian b terhadap dirinya sendiri sebanyak n faktor}
=a'log b + a'log b +...+a'log b {penjumlahan a'log b sebanyak n kali}
=n. a'log b
Jadi, a'log(b^n)=n.a'log b (Terbukti)

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa a'log(b) . b'log(c) = a'log(c) !
a'logb. b'logc =a'logc
=logb/loga . logc/logb
=logc/loga
=a'logc
Terbukti

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa a'log(b) . b'log(a) = 1 !
a'log(b). b'log(a)
=log(b)/log(a) . log(a)/log(b)
=log(a)/log(a)
=a'log(a)
= 1
Terbukti

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa a^(a'log(b)) = b !
a^(ªlog(b)) = b
(ªlog b)(log a) = log b
(log b)(log a) / (log a) = log b
log b = log b

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa a'log(b) = (n'log(b)) / (n'log(a)) !
misal :
a'log(b) = m
a^m = b
n'log(a^m) = n'log(b)
m.n'log(a) = n'log(b)
m = n'log(b)/n'log(a)
a'log(b) = n'log(b)/n'log(a)

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa (a^m)'log(b) = (1/m).(a'log(b)) !
Cara simple.
(a^m)'log b =(1/m) a'log b
(1/m). a'log b =(1/m). a'log b
INGAT RUMUS:
(a^n)'log b^m =(m/n).a'log b

Lanjut.. :)
Buktikan bahwa (a^m)'log(b^n) = (n/m).(a'log(b)) !
Misal (a^m)'log(b^n) = x
(a^m)^x = (b^n)
a^mx = (b^n)
a'log(b^n) = mx
n.a'log(b) = mx

a'log(b) = (m/n)x
x = a'log(b)/(m/n)
x = (n/m).a'log(b)
Terbukti...

Jadi, kesimpulannya kita punya beberapa sifat logaritma, diantaranya..
1. a'log(a) = 1
2. a'log(a^n) = n
3. a'log1 = 0
4. a'log(1/a^n) = -n
5. a'log(b) + a'log(c) = a'log(b.c)
6. a'log(b) - a'log(c) = a'log(b/c)
7. 10'log(x) = log(x)
8. a'log(b) = -(a'log(1/b))
9. a'log(b^n) = n.(a'log(b))
10. a'log(b) . b'log(c) = a'log(c)
11. a'log(b) . b'log(a) = 1
12. a^(a'log(b)) = b
13. a'log(b) = (n'log(b)) / (n'log(a))
14. (a^m)'log(b) = (1/m).(a'log(b))
15. (a^m)'log(b^n) = (n/m).(a'log(b))
Oke, dari beberapa rumus itu, sebenernya masih bisa dikembangkan lebih banyak sifat yang lain..
 But, do your improve ! ^_^