Jumlah Kuadrat Bilangan Ganjil
Perhatikan pola berikut :
12 = 1/6 (1 x 2 x 3)
12 + 32 = 1/6 (3 x 4 x 5)
12 + 32 + 52 = 1/6 (5 x 6 x 7)
Dengan memperhatikan pola tersebut, maka sepertinya akan sangat mudah bagi kita untuk menentukan jumlah berikut ini :
12 + 32 + 52 + 72 + .... + 1012 = ....
Berdasarkan pola pada contoh, maka :
12 + 32 + 52 + 72 + .... + 1012 =
Tetapi, apakah jawaban tersebut BENAR?
Mari kita coba meilhat polanya sebagai berikut
12 + 32 + 52 + 72 + .... + (2n – 1)2 1/6 x (2n – 1) x 2n x (2n + 1) = 1/3 (4n3 – n)
Pola hasil penjumlahannya adalah :
1, 10, 35, 84, 165, ....
Barisan tersebut adalah barisan aritmetika tingkat 3, penentuan rumus polanya adalah sebagai berikut :
Misalkan jumlah n suku pertama adalah an3 + bn2 + cn + d
Untuk n = 1, a + b + c + d = 1 persamaan (1)
Untuk n = 2, 8a + 4b + 2c + d = 10 persamaan (2)
Untuk n = 3, 27a + 9b + 3c + d = 35 persamaan (3)
Untuk n = 4, 64a + 16b + 4c + d = 84 persamaan (4)
Untuk n = 5, 125a + 25b + 5c + d = 165 persamaan (5)
Masing-masing dua persamaan berdekatan dikurangkan,
(2) – (1) = 7a + 3b + c = 9 persamaan (6)
(3) – (2) = 19a + 5b + c = 25 persamaan (7)
(2) – (1) = 37a + 7b + c = 49 persamaan (8)
(2) – (1) = 61a + 9b + c = 81 persamaan (9)
Masing-masing dua persamaan berdekatan dikurangi lagi
(7) – (6) = 12a + 2b = 16 persamaan (10)
(8) – (7) = 18a + 2b = 24 persamaan (11)
(9) – (8) = 24a + 2b = 32 persamaan (12)
Masing-masing persamaan berdekatan dikurangi lagi,
(11) – (10) = 6a = 8 persamaan (13)
(12) – (11) = 6a = 8 persamaan (14)
Sehingga diperoleh nilai a = 4/3, b = 0, c = - 1/3, dan d = 0
Sehingga rumus jumlah n suku pertama adalah 4/3n3 – 1/3n = 1/3(4n3 – n)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar